概率論中的大數(shù)定律及中心極限定理

1、1概率論中的大數(shù)定律及中心極限定理唐南南摘要摘要概率論是從數(shù)量上研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律的學(xué)科，概率論的特點(diǎn)是先提出數(shù)學(xué)模型，然后去研究它的性質(zhì)，特點(diǎn)和規(guī)律。它在自然科學(xué)，技術(shù)科學(xué)和社會科學(xué)等科學(xué)中有廣泛的應(yīng)用。而大數(shù)定律和中心極限定理的內(nèi)容是概率論中極限理論極為重要的一部分內(nèi)容。在這篇文章中，我們從貝努力試驗(yàn)中的頻率出發(fā)，討論了獨(dú)立隨機(jī)變量和分布的極限問題。在一定條件下，這些分布弱收斂于退化分布，這就是大數(shù)定律。在另一些條件下，這些分布弱收

2、斂于N(01)分布這一類收斂于N(01)分布的定理統(tǒng)稱為中心極限定理.大數(shù)定律說明了隨機(jī)現(xiàn)象都具有穩(wěn)定性而中心極限定理是研究相互獨(dú)立隨機(jī)變量序列的部分和的分布，在適當(dāng)條件下向正態(tài)分布收放的問題。??ix???niinxS1在這篇文章里，我們只介紹了一些定理的提出，內(nèi)容以證明以及在其他學(xué)科上的應(yīng)用，而大數(shù)定律和中心極限定理還有許多更深入，更廣泛的內(nèi)容，限于篇幅這里就不再介紹了。掌握定理的結(jié)論是重要的，這些結(jié)論一方面使頻率穩(wěn)定于概率，n次觀

3、察的算術(shù)平均值穩(wěn)定于數(shù)學(xué)期望都有了明確的含義和理論依據(jù)；另一方面，又將給數(shù)理統(tǒng)計(jì)中大樣本的統(tǒng)計(jì)推斷等提供理論依據(jù)。關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞大數(shù)定律中心極限定理隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)變量引言大數(shù)定律和中心極限定理是概率論中重要的一部分內(nèi)容，但對讀者來說，多數(shù)人對于這部分內(nèi)容感到很難掌握，這篇文章就是對這部分內(nèi)容進(jìn)行淺入的分析，但對其內(nèi)容進(jìn)行詳細(xì)的說明，而且進(jìn)行了歸納性的總結(jié)，指出了各定律之間的聯(lián)系及其差別，希望通過本篇文章內(nèi)容的介紹，能使讀者對于這部分知識有一

4、個清晰的印象，能整體地把握這部分內(nèi)容。一、大數(shù)定律（一）、問題的提法（大數(shù)定律的提法）重復(fù)實(shí)驗(yàn)中事件的頻率的穩(wěn)定性，是大量隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的典型表現(xiàn)。人們在實(shí)踐中認(rèn)識到頻率具有穩(wěn)定性，進(jìn)而由頻率的穩(wěn)定性預(yù)見概率的存在；由頻率的性質(zhì)推斷概率的性質(zhì)，并在實(shí)際應(yīng)用中（當(dāng)3律有弱大數(shù)定律和強(qiáng)大數(shù)定律之分。（二）、大數(shù)定律的內(nèi)容及證明1、在證大數(shù)定理時，我們經(jīng)常用到著名的切比雪夫不定式，首先我們來講這個不定式。]2[設(shè)隨機(jī)變量X有期望和方差，

5、則對于任意0有??xE??xD?或??????2??xDxExP?????????21??xDxExP????證明：（1）：x是離散型隨機(jī)變量的情形。（）????????????????????22222??????xDxEXPXEXxxPxExPkxExkkkxExkk??????????????????KKPXxP??（2）x是連續(xù)隨機(jī)變量的情形。設(shè)x的密度函數(shù)是，則有??xP??????????????xExxExP??dxxP積