三類隨機(jī)的捕食——被捕食系統(tǒng)的分析.pdf

1、生物數(shù)學(xué)中通常以確定性模型來解決生物學(xué)和生態(tài)學(xué)中的問題,這么作的主要依據(jù)是假設(shè)生物種群的個體數(shù)量足夠大，根據(jù)大數(shù)定律，系統(tǒng)會呈現(xiàn)出比較平穩(wěn)的統(tǒng)計規(guī)律.然而在真實的自然界中，隨機(jī)性和偶然性是生態(tài)系統(tǒng)必不可少的特征之一，特別是當(dāng)樣本空間較小時，比如研究瀕危物種或者研究生物種群的滅絕性時.環(huán)境的隨機(jī)變化對整個生態(tài)系統(tǒng)的影響就顯得十分重要，我們此時不能再將它近似的看做確定性系統(tǒng)，而忽略掉周圍環(huán)境的隨機(jī)擾動.在本文中，我們主要討論了三個生態(tài)系統(tǒng),

2、分別研究了確定性系統(tǒng)與它們所對應(yīng)的隨機(jī)生態(tài)系統(tǒng)，針對所得結(jié)果進(jìn)行比較分析，可以發(fā)現(xiàn)在生態(tài)系統(tǒng)中考慮環(huán)境的隨機(jī)波動十分必要.
　　本文分為五章，在第一章里介紹了背景知識，基本概念和主要定理;在第二章中，提出并研究了一個捕食者感染疾病的捕食-被捕食系統(tǒng)以及它對應(yīng)的隨機(jī)系統(tǒng)，通過討論平衡位置對應(yīng)的雅各比矩陣的特征根是否具有負(fù)實部，得到了確定性系統(tǒng)的平衡位置的穩(wěn)定性;利用Lyapunov函數(shù)分析的方法，討論了對應(yīng)的隨機(jī)系統(tǒng)的正解的全局存在

3、性。雖然隨機(jī)系統(tǒng)沒有平衡位置，我們無法計算它的全局穩(wěn)定性。但是我們可以得到解的平穩(wěn)分布，這可以看作是解在隨機(jī)意義下的穩(wěn)定性。若不考慮環(huán)境的隨機(jī)擾動，從上面的結(jié)論可以得到關(guān)于原來確定性系統(tǒng)的正平衡位置全局漸近穩(wěn)定的結(jié)果;通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)，討論了隨機(jī)系統(tǒng)的解圍繞確定性系統(tǒng)的無病平衡位置和邊界平衡位置擾動的漸近行為.從而還能夠得到關(guān)于確定性系統(tǒng)邊界平衡位置全局漸近穩(wěn)定的結(jié)果.所得結(jié)論表明對于確定性系統(tǒng)而言，只要正平衡位置存在，它即

4、為全局漸近穩(wěn)定的，即疾病始終流行;當(dāng)環(huán)境白噪聲強(qiáng)度較小時，隨機(jī)系統(tǒng)的解的性質(zhì)與原來確定性系統(tǒng)解的性質(zhì)相差不大，其解圍繞正平衡位置存在一個平穩(wěn)分布;但是當(dāng)環(huán)境白噪聲的強(qiáng)度較大時，隨機(jī)系統(tǒng)的解就會發(fā)生很大的改變，圍繞確定性系統(tǒng)的無病平衡位置振蕩，這種變化對于傳染病模型來說.具有重要的意義，由此可見考慮環(huán)境的隨機(jī)影響是十分必要的.
　　在第三章中，我們主要討論了一個捕食者感染疾病且?guī)в蠦eddinton-DeAngelis功能反應(yīng)函數(shù)的

5、捕食-被捕食系統(tǒng)，通過分析對應(yīng)特征根的情況，得到了系統(tǒng)的四個非負(fù)平衡位置的穩(wěn)定性;在不考慮環(huán)境的隨機(jī)因素時，根據(jù)后面第四章的結(jié)論，可以得到關(guān)于確定性系統(tǒng)邊界平衡位置、無病平衡位置和正平衡位置全局漸近穩(wěn)定的結(jié)果;運(yùn)用比較定理，得到了系統(tǒng)的永久持續(xù)生存的條件.第四章里，研究了第三章中確定性系統(tǒng)所對應(yīng)的兩個隨機(jī)系統(tǒng)，針對第一個隨機(jī)系統(tǒng)，通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)，討論了全局正解的存在;利用隨機(jī)微分方程的比較定理，可以給出隨機(jī)系統(tǒng)的解的估計;

6、通過放大、縮小等技巧，討論了食餌和捕食者種群在時間均值意義下的持續(xù)生存和滅絕，這里研究了種群持續(xù)生存和滅絕的閾值，所得結(jié)論與第三章永久持續(xù)生存的結(jié)果對比可以發(fā)現(xiàn)，環(huán)境的隨機(jī)擾動在某種程度上減少了種群的規(guī)模.構(gòu)造Lyapunov函數(shù)，討論了解圍繞邊界平衡位置和無病平衡位置的振蕩.而且振蕩的幅度與環(huán)境白噪聲的強(qiáng)度密切相關(guān);還研究了解的平穩(wěn)分布，說明了白噪聲強(qiáng)度較小時，隨機(jī)系統(tǒng)的解圍繞在確定性系統(tǒng)的正平衡位置附近波動.對于第二個隨機(jī)系統(tǒng),主要

7、研究了它的正平衡位置的隨機(jī)全局漸近穩(wěn)定性。通過第三章與第四章結(jié)論的對比發(fā)現(xiàn)，當(dāng)確定性系統(tǒng)的某個平衡位置全局漸近穩(wěn)定時，對應(yīng)的隨機(jī)系統(tǒng)的解就圍繞在此平衡位置附近波動，且波動幅度與環(huán)境白噪聲的強(qiáng)度有關(guān).
　　在第五章里，討論了一個非自治的隨機(jī)系統(tǒng)，采用的功能反應(yīng)函數(shù)也是Beddinton-DeAngelis功能反應(yīng)函數(shù)，這里采用類似的方法，證出了全局解的存在;通過證明解的矩有界性，可以得到解的隨機(jī)最終有界性;采用比較方法，分別討論了食