非線性算子方程的精確解.pdf

1、本文主要研究非線性問題的數(shù)值求解方法.非線性問題包括常微分方程，偏微分方程，積分方程，積分微分方程，涉及到全部的自然科學領(lǐng)域，也是目前各學科普遍面臨的重要研究對象.因此，本文所研究的內(nèi)容(即算子方程的求解，這里算子方程是對各式各樣方程的統(tǒng)稱)具有重要的理論意義和應(yīng)用價值. 本文給出了線性不適定算子方程全部解的解析表示，非線性算子方程AuBu+Cu=.f及A(v2)+Cv=f精確解的形式表示，人口方程精確解的形式表示，一類非線性常

2、微分方程精確解的形式表示以及求解它們的有效的數(shù)值求解算法. 第1章中，介紹了線性算子方程及其數(shù)值求解的歷史，非線性算子方程及其數(shù)值求解的歷史，再生核理論的歷史以及人口方程的發(fā)展歷史. 第2章中，在可分的Hilbert空間H，H1上，將不適定線性算子方程Au=f(A：H→H1)的所有解表為u0+N(A)的形式，其中u0為Au=f的最小范數(shù)解，N(A)為算子A的零空間.首先，利用共軛算子的技巧，給出了最小范數(shù)解u0的形式表示

3、，同時，獲得了N(A)的一組標準正交基，從而給出了不適定線性算子方程全部解的形式表示(如果不計具有共軛算子形式項，則這些解為解析表示).這些解用級數(shù)表示，截斷即得近似解，其誤差在范數(shù)意義下單調(diào)下降，從而解決了不適定問題求解困難的問題.其次，將上述結(jié)論應(yīng)用到H，H1均為再生核空間的情形，獲得了相應(yīng)的結(jié)論.另外，利用再生核的技巧，得到具有共軛算子形式項的解析表示，從而獲得了u0的解析表示.由此，我們得到了Au=f全部解的解析表示.

4、第3章中，在再生核空間中討論了AuBu+Cu=f型非線性算子方程解的表示.利用再生核的技巧，將問題轉(zhuǎn)化為求解線性算子方程Ku=f的可乘解.先給出Ku=f的所有解，再從中挑出可乘解，由此得到了精確解的形式表示.進一步，我們引進了ε-近似解的概念并給出了求ε-近似解的穩(wěn)定性定理.利用穩(wěn)定性定理，我們將求ε-近似解轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值.先給出Ku=f解的截斷表示(零空間的標準正交項取n2項，正交項的系數(shù)為未知數(shù))，將其作為待求的ε-近似解.其

5、次，利用可乘解的判定定理，通過恰當?shù)倪x取未知數(shù)，巧妙的將n2個未知數(shù)下降為n個，從而將求ε-近似解轉(zhuǎn)化為求n元4次多項式的最小值.由此，得到了求AuBu+Cu=f的ε-近似解的一個有效的數(shù)值算法. 第4章中，用類似第3章中的方法，在再生核空間中給出了A(v2)+Cv=f型非線性算子方程解的表示及求其ε-近似解的數(shù)值算法. 第5章中，討論了求解AuBu+Cu=f型的人口方程.先做一次積分消去一個邊界條件，再用一次邊界齊次化