子群的幾種廣義正規(guī)性質(zhì)和有限群的結(jié)構(gòu).pdf

1、有限群的結(jié)構(gòu)與其子群的某種正規(guī)性的關(guān)系一直是有限群論重要的研究課題之一。群論學(xué)家們不僅給出了各種各樣的廣義正規(guī)性的概念，而且獲得了大量的研究成果，這為有限群理論的發(fā)展起到了強(qiáng)有力的推動(dòng)作用。本文持續(xù)了這方面的工作，利用某些正規(guī)性建立了關(guān)于有限群的(p-)冪零性和(p-)超可解性的各種條件，對(duì)有限群的(p-)冪零性和(p-)超可解性進(jìn)行了刻畫。全文分為五章。
　　 第1章，給出常用的符號(hào)、概念以及若干有用結(jié)論。
　　 第2

2、章，研究覆蓋遠(yuǎn)離子群和半p-覆蓋遠(yuǎn)離子群與有限群結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系。一方面，我們利用某些特殊子群(如，F(xiàn)itting子群，極大子群等)的覆蓋遠(yuǎn)離性質(zhì)刻畫了有限群的超可解性，得到了一系列的充要或充分條件，這些工作的創(chuàng)新之處就是從各個(gè)不同角度，通過(guò)恰當(dāng)選擇盡可能少的具有半覆蓋遠(yuǎn)離性質(zhì)的子群來(lái)刻畫有限群的超可解性，許多已知的結(jié)果被推廣。特別地，我們還把類似結(jié)論推廣到飽和群系中得到關(guān)于A-群的一些刻畫，同時(shí)也給出了關(guān)于偶階QCLT-群的超可解性的刻

3、畫。另一方面，我們利用某些予群的覆蓋遠(yuǎn)離性質(zhì)，通過(guò)限制有限群和D型群的關(guān)系得到了一系列關(guān)于有限群冪零性的結(jié)果。最后，我們利用Fitting子群和極小子群的半p-覆蓋遠(yuǎn)離性質(zhì)也刻畫了有限群的超可解性和p-冪零性。本章實(shí)際上是郭秀云等人工作的繼續(xù)，其中部分結(jié)果在Journal of Pureand Applied Algebra，213(2009)上發(fā)表。
　　 第3章，主要利用素?cái)?shù)冪階子群的ye性質(zhì)研究有限群的(p-)超可解性和p

4、-冪零性。在P.Cs(o)rg(o)、M.Herzog和M.Asaad等人的研究基礎(chǔ)上，我們進(jìn)一步推進(jìn)了子群的ye-性質(zhì)和有限群結(jié)構(gòu)的關(guān)系。P.Cs(o)rg(o)和M.Herzog曾利用極小子群的ye-性質(zhì)刻畫了有限群的超可解性，在此我們發(fā)現(xiàn)極小子群的ye-性質(zhì)同樣可以有效的刻畫有限群的冪零性質(zhì)。而進(jìn)一步，我們給出了2-極大子群的ye-性質(zhì)對(duì)有限群結(jié)構(gòu)的影響。最后，我們擴(kuò)展了M.Asaad的部分結(jié)果，利用Fitting子群中的某些極大

5、子群再次刻畫了有限群的超可解性和冪零性，而且將其推廣到飽和群系中，得到有限群屬于包含超可解群系的飽和群系的充分條件。本章的部分結(jié)果己被AlgebraColloquium錄用。
　　 第4章，由于一個(gè)群的某類子群不一定全是“半p-覆蓋遠(yuǎn)離子群”或者全是“ye-子群”，有例子說(shuō)明可能只有一部分是“半p-覆蓋遠(yuǎn)離子群”，一部分是“ye-子群”。因此，本章研究“半p-覆蓋遠(yuǎn)離子群”和“ye-子群”兩者都出現(xiàn)時(shí)對(duì)群結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的影響，得到了一

6、些重要的結(jié)論，這些結(jié)論涵蓋了許多已知的著名結(jié)果，如[1]，[2]和[3]中的許多結(jié)論可以由我們的結(jié)果直接得到。本章結(jié)果已投稿在較高級(jí)別的專業(yè)期刊上。
　　 第5章，本章主要對(duì)具有F-s-補(bǔ)的子群進(jìn)行了進(jìn)一步的研究，尤其是利用具有p-冪零s-補(bǔ)的某些素?cái)?shù)冪階的極小子群和極大子群充分或充要地刻畫了群的p-冪零性。如：如果p為群G的階的素因子且滿足(|G|，p-1)=1，P∈Sylp(G)。則G是p-冪零群當(dāng)且僅當(dāng)P的每個(gè)極大子群在G