平行平均曲率子流形的間隙定理和剛性定理.pdf

1、本文著重研究完備平行平均曲率子流形的Ln/2曲率空隙和幾何剛性問題. 本文第一部分主要研究歐氏空間和球面中完備的平行平均曲率子流形的Ln/2-pinching問題，獲得如下結(jié)果：設(shè)Mn(n≥3)是歐氏空間Rn+p中完備的平行平均曲率子流形，H和S分別為M的平均曲率和第二基本形式模長的平方.若∫M(S-nH2)n/2dM＜C(n)，其中C(n)為僅與n有關(guān)、具體給定的正常數(shù)，則S≡nH2，即Mn是全臍子流形.特別地，若H=0，則M

2、=Rn；若H≠0，則M=Sn(1/H).該結(jié)果改進和推廣了由L.Ni和H.W.Xu證明的間隙定理. 更一般地，本文獲得以下結(jié)果：設(shè)Mn(n≥3)是n+p維具有非負常曲率c的完備單連通空間形式Fn+p(c)中n維完備的平行平均曲率子流形，H和S分別為M的平均曲率和第二基本形式模長的平方.若∫M(S-nH2)n/2dM＜C(n)，其中C(n)為僅與n有關(guān)、具體給定的正常數(shù)，則S≡nH2，即Mn是全臍子流形.特別地，若c+H2=0，則

3、M=Rn；若c+H2≠0，則M=Sn(1/√c+H2). 第二部分著重研究外圍流形為雙曲空間的情形，得到以下結(jié)果：設(shè)Mn(n≥3)是雙曲空間Hn+p(-1)中完備的平行平均曲率子流形，H和S分別為M的滿足H＞1的平均曲率和第二基本形式模長的平方.若∫M(S-nH2)n/2dM＜C′(n，H)，其中C′(n，H)為僅與n，H有關(guān)、具體給定的正常數(shù)，則S≡nH2，即Mn是全臍球面Sn(1/√H2-1). 第三部分研究了pin

4、ched黎曼流形中完備子流形的幾何剛性問題，證明了下述結(jié)果：設(shè)Mn是n+p維完備單連通黎曼流形Nn+p中n(≥3)維完備的平行平均曲率子流形.設(shè)KN是N的截曲率，滿足c：=infKN≤0，d：=supKN≥0，且c+H2＞0，則存在常數(shù)τ1(n，p，H)(≤0)，τ2(n，p，H)(≥0)，其中τ12(n，p，H)+τ22(n，p，H)≠0，使得當(dāng)KN∈[τ1(n，p，H)，τ2(n，p，H)]，且nH2+A1(n,p)(d-c)+A2

5、(n,p)[n(n-1)-1H3]1/2(d-c)1/4≤S＜α0(n,H)-B1(n,p)(d-c)-B2(n,p)[n(n-1)-1H3]1/2(d-c)1/4時，Nn+p等距于歐氏空間Rn+p.進一步地，若supMS＜α0(n，H)，則M必為全臍球面Sn(1/H).這里常數(shù)α0(n，H)=n2H2/n-1，其余常數(shù)τ1(n，p，H)，τ2(n，p，H)，A1(n，p)，A2(n，p)，B1(n，p)，B2(n，p)將在正文中給出.