多值邏輯代數(shù)中若干問題的研究.pdf

1、多值邏輯與當今的一些前沿學科如模糊控制，人工智能，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和計算機科學等有著密切的聯(lián)系．不同的多值邏輯系統(tǒng)對應(yīng)著不同的多值邏輯代數(shù)．早在1958年，著名邏輯學家C.C.Chang為解決Lukasiewicz多值邏輯系統(tǒng)的完備性而引入了MV-代數(shù)的理論，并成功地證明了Lukasiewicz多值邏輯系統(tǒng)的完備性．1996年，王國俊教授基于對模糊邏輯與模糊推理方面存在的問題的分析，提出一種新的形式演繹系統(tǒng)——L<'*>系統(tǒng)和與之相匹配的多值邏

2、輯代數(shù)——R<,0>-代數(shù)．隨著研究的不斷深入，L<'*>系統(tǒng)的完備性以及R<,0>-代數(shù)自身的完備性都已經(jīng)得到了證明，并取得了豐碩的成果，這些研究成果既促進了多值邏輯的發(fā)展，又豐富了代數(shù)學的內(nèi)容，所以多值邏輯代數(shù)是本文的主要研究對象． 全文內(nèi)容共分四章，第一章是預(yù)備知識，首先給出了后面要用到的格論的初步知識．在模糊邏輯當中基于連續(xù)三角模的剩余格理論是研究這些邏輯代數(shù)系統(tǒng)的重要工具，譬如BL-代數(shù)，MV-代數(shù)，G-代數(shù)，Gogu

3、en代數(shù)等都是基于剩余格的代數(shù)結(jié)構(gòu)，其次又介紹了剩余格理論和幾類邏輯代數(shù)系統(tǒng)及其它們所擁有的性質(zhì)． 第二章論了幾類多值邏輯代數(shù)系統(tǒng)與剩余格的關(guān)系，并且給出了它們各自的基于剩余格的簡化形式．Pleter.Hajek于1998年提出了BL代數(shù)的理論，但由于BL代數(shù)定義中的條件XΛy=X (x→y)太強，仍有一些邏輯代數(shù)被排除在外，基于此，刪除BL代數(shù)定義中的條件XΛy=X(x→y)，并保留分配性而引入了次BL代數(shù)的概念，次BL代數(shù)把

4、R<,0>-代數(shù)，BR<,0>-代數(shù)，MV-代數(shù)，G代數(shù)和Goguen代數(shù)都包含在內(nèi)，從而所建立的推理系統(tǒng)有更廣泛的應(yīng)用性．本文對次BL代數(shù)作了更進一步的深入研究，證明分配性可以由次BL代數(shù)定義中的其它條件推出，從而簡化了次BL代數(shù)的定義．本文還給出了次BL代數(shù)的另外兩種等價定義，揭示了次BL代數(shù)與其它邏輯代數(shù)之間的關(guān)系，并證明了一種強次BL代數(shù)與BR<,0>-代數(shù)是等價的，并以此為基礎(chǔ)，得到了BR<,0>-代數(shù)和R<,0>-代數(shù)的簡化

5、定義． 第三章結(jié)合N-半單代數(shù)的性質(zhì)，在N-半單代數(shù)中探討了蘊涵代數(shù)和剩余格理論，并得到了很好的結(jié)果．在代數(shù)學中經(jīng)典的環(huán)論和有限結(jié)合代數(shù)是兩個重要的分支，而半單代數(shù)在有限結(jié)合代數(shù)中占有重要的位置．N-半單代數(shù)按照運算→可以構(gòu)成與FI代數(shù)等價的代數(shù)系統(tǒng)，按照運算⊕可以構(gòu)成與MV代數(shù)等價的代數(shù)系統(tǒng)．本文通過對N-半單代數(shù)和模糊邏輯代數(shù)的研究，嘗試著在N-半單代數(shù)的中心冪等元構(gòu)成的集合G(R)中引入→，⊕，Θ和┓這幾種運算(其中→，⊕

6、，Θ均為二元運算，┓為一元運算)，并且定義了一個二元關(guān)系：“≤”，這個二元關(guān)系構(gòu)成G(R)上的偏序關(guān)系，進而證明了(G(R)，≤)按照相應(yīng)的運算可以構(gòu)成剩余格，更進一步地，證明了G(R)按照不同的運算分別可以構(gòu)成與MTL代數(shù)，BL代數(shù)，G-代數(shù)，Goguen代數(shù)，BR<,0>-代數(shù)和R<,0>-代數(shù)等多值邏輯代數(shù)等價的代數(shù)結(jié)構(gòu)，豐富了已有的結(jié)果．第四章通過對全序BR<,0>-代數(shù)的研究，并結(jié)合R<,0>-代數(shù)和MV-代數(shù)的完備性的證明給

7、出了BR<,0>-代數(shù)自身弱完備性的證明．利用代數(shù)的相關(guān)知識解決邏輯問題是模糊邏輯研究的一個有效方法．R<,0>代數(shù)的完備性的證明及其相關(guān)研究就是一個很好的例證．BR<,0>代數(shù)是R<,0>代數(shù)去掉最后一條性質(zhì)(a→b)v((a→b)→┓a v b)=1得到的弱R<,0>代數(shù)，這就導(dǎo)致了BR<,0>代數(shù)在BR<,0>單位區(qū)間上的運算的不唯一性(因為MV-代數(shù)是滿足條件(a→b)→b=av b的BR<,0>代數(shù)，而R<,0>代數(shù)是滿足條件