積分方程和微分方程的幾種基于小波的新型數值解法.pdf

1、許多實際問題和大量的物理現象可以抽象為積分方程和偏微分方程，因此構造這些方程的快速數值算法就有著重要的理論意義和實際應用價值，本文以小波為工具研究這些方程的數值算法，基于小波的數值求解積分(微分)方程的基本問題為：解的線性、非線性逼近；積分、微分算子的小波表示；解的穩(wěn)定性；解的收斂階的估計；自適應算法設計。本文以此為基礎提出了幾種解積分方程和偏微分方程的精細Legendre多小波方法，創(chuàng)新點包括：
　　 (1)深入研究了用Leg

2、endre多小波來表征Sobolev空間，得到了分別以范數L2和Hs的逼近誤差階的估計，這為用Legendre多小波方法估計積分、偏微分方程數值解的逼近誤差的階做理論準備。
　　 (2)導出了延拓的Legendre小波，并分析了此小波的結構以及性質.構造了延拓Legendre小波神經網絡，此小波神經網絡的優(yōu)點為：結構簡單、高階的逼近精度、收斂速度快以及低的計算復雜性，并用來解決非線性函數的逼近問題。
　　 (3)提出了積

3、分算子的精細Legendre多小波非標準表示以及快速算法，此計算方式的優(yōu)點為：積分算子矩陣為稀疏的、低維的以及塊對角的。另外，非常有價值的地方是：不同子區(qū)間的積分算子矩陣是一樣的。這些性質極大程度地降低了用小波表示積分算子的計算復雜性。
　　 (4)用已經得到的Legendre小波神經網絡和精細Legendre多小波方法有效地數值求解了Lane-Emden方程、Fredhlom方程.此方法的解決思路為：這些方程先被轉化為積分方程

4、，再用Legendre小波神經網絡來逼近非線性函數，精細Legendre小波方法用來計算每個子區(qū)間[2-nl，2-n(l+1))上的積分算子、乘積算子以及整數冪算子，則積分方程就可轉化為線性代數方程。再解此線性代數方程組就可以得到在子區(qū)間[2-nl，2-n(l+1))上的數值解，綜合每個子區(qū)間的解就得到了方程的整個數值解。另外，還用精細Legendre小波方法解決了積分函數的最優(yōu)化問題。
　　 (5)通過用Legendre多小波

5、基函數代替弱變分形式的基，構造了弱Legendre多小波變分形式，有效地解決了Wavelet-Galerkin方法處理偏微分方程的邊界條件以及計算連接系數的困難。這樣邊界條件以弱的方式加到了變分形式，而不必象變分形式那樣強加邊界條件，詳細計算了微分算子的精細Legendre多小波非標準表示，因為Legendre小波為分段多項式，故表示微分算子時計算的連接系數用到的是多項式的低階導數，這降低了計算復雜性。以Poisson方程為例構造了弱L

6、egendre多小波變分形式，并導出了分別以范數L2和H1的數值逼近解的收斂階的估計?？傊?，構造的弱Legendre多小波變分形式既有Wavelet-Galerkin方法的優(yōu)點又有弱Galerkin方法的長處。
　　 (6)用Legendre多小波的特點和混合有限元的優(yōu)勢，構造了混合不連續(xù)Legendre-Wavelet-Galerkin(MDLWG)方法，此方法的優(yōu)點為：微分算子的有效稀疏表示、解滿足一致性、有高階的逼近精度以

7、及快速自適應算法。偏微分方程的邊界條件被以弱變分的方式加到數值流，此方式能容易地以低的計算復雜性逐元評價計算，得到的微分算子矩陣為塊對角的，故此方法可以降低解以小波系數為未知數的代數方程組的計算復雜性。此外，得到了帶Dirichlet邊界條件的橢圓偏微分方程的有效數值解，以及邊界條件的數值流計算的誤差估計的階為D(2-n(p-1))。數值實驗表明：這種方法是有效的。
　　 (7)以對流偏微分方程的本質特點，用Legendre多小

8、波的性質和不連續(xù)Galerkin方法的結構特點，構造了不連續(xù)Legendre-Wavelet-Galerkin(DLWG)方法解對流方程以及設計了快速自適應算法。此方法的思路為：用圖論的方法重新排列計算單元，再用精細Legendre多小波方法和不連續(xù)Galerkin方法的結構特點，對流方程就可轉化為一系列的子代數方程的求解，這樣就可以不必解對流偏微分方程的整個代數方程組，而是以逐元逐元的方式求解。最重要的是：每個單元的計算時，涉及到的迎