超空間拓撲和連續(xù)選擇函數(shù).pdf

1、超空間的研究起源于將由拓撲空間X中閉子集組成的集族拓撲化的想法.而在研究過程當中，我們主要討論的是由空間X中非空閉子集組成的集族F(X).最早在F(X)上定義拓撲的是F.Hausdorff.他在論文[8]中定義了有界度量空間x上的超空間的度量(后來被稱為Hausdorff度量)但是由于其定義的局限性，關于Hausdorff度量的研究并不廣泛. 1923年，L.Vietoris在其論文[16]中定義了一般拓撲空間X上的超空間拓撲，Viet

2、oris拓撲(也被稱為有限拓撲).而在1951年，E.Michael在他奠基性的文章"Topologies on spaces of subsets"[6]中給出了Vietoris拓撲的基元素的形式并且定義了超空間上的連續(xù)選擇函數(shù).隨后，在1956年，E.Michael又發(fā)表了一系列關于連續(xù)選擇函數(shù)的論文[2，3，4].這標志著對連續(xù)選擇函數(shù)研究的正式開始.在此之后，拓撲學家們在超空間上定義了各種各樣的拓撲結構，并且研究了相應于各種拓撲

3、的連續(xù)選擇函數(shù)與空間X拓撲性質(zhì)之間的聯(lián)系.隨著對連續(xù)選擇函數(shù)研究的深入和系統(tǒng)化，選擇理論逐漸發(fā)展成為一般拓撲學中的獨立分支. 對于超空間的研究主要集中在下面兩個方面： (1)空間X的拓撲性質(zhì)與超空間F(X)的拓撲性質(zhì)之間的關系； (2)如果空間X是廣義度量空間或者是具有某些特殊性質(zhì)的拓撲空間，則超空間F(X)是否具有同樣的性質(zhì). 其中一些基本的拓撲性質(zhì)，如緊性、連通性和分離性公理等，E.Michael在論

4、文[6]中進行了討論并得到了相應的結果.在文中，E.Michael還引入連續(xù)選擇函數(shù)的定義并研究了連續(xù)選擇函數(shù)和空間X的一些拓撲性質(zhì)之間的關系.1956年，E.Michael[2，3，4]繼續(xù)了他對連續(xù)選擇函數(shù)的研究工作，特別是連續(xù)選擇函數(shù)的延拓問題．他將之稱為“選擇函數(shù)問題”．在這之后，對于選擇函數(shù)和空間X拓撲性質(zhì)之間關系及選擇函數(shù)的延拓問題逐漸成為主要研究方向．最近，S．García-Ferreira，V．Gutev和T．Nogur

5、a．[2006][24]繼續(xù)了Michael在選擇函數(shù)延拓方面的工作，給出了選擇函數(shù)從F<,2>(X)到F<,3>(X)延拓的一個條件． 在第一章中，我們主要研究了連續(xù)選擇函數(shù)和拓撲空間X之間的聯(lián)系，其主要的結果分為下列幾個方面．首先在第1．3節(jié)中我們討論了空間X的連通性和弱Tv連續(xù)選擇函數(shù)之間的關系，證明了若空間X上有且僅有一個若連續(xù)選擇函數(shù)，則空間X為連通空間．減弱了Tsugunori Nogura和DmitriShakhm

6、atoy相關結果的條件．在第1．4節(jié)，我們指出了[30，Theorem 3.1]的證明中的一個錯誤，并給出了相應的正確證明．在第1．5節(jié)中，我們發(fā)展了Giuliano Artico，Umberto Marconi和Jan Pelant關于零選擇函數(shù)和基數(shù)函數(shù)關系的結果，證明了若空間X上存在TV連續(xù)零選擇函數(shù)，則空間X的包腔度和X的基數(shù)相等．． 在第二章中，我們主要討論了若連續(xù)選擇函數(shù)在超空間中的連續(xù)延拓．首先在第1．2節(jié)中引入了

7、，一最大集和f-最小集的概念．在第1．3節(jié)中，研究了f-最大集和f-最小集的存在性及基本性質(zhì)．在1．4節(jié)中，我們證明了本章的主要定理，給出了弱連續(xù)選擇函數(shù)在由空間X上所有有限子集組成的集族上連續(xù)延拓的一個條件，推廣了S．García-Ferreira，V．Gutev和T．Nogura，的結果．1．5節(jié)中的主要結果則是1．4節(jié)中主要結果在發(fā)散遺傳仿緊空間上的應用，對V．Gutev和T．Nogura的問題[28，Question 5]做出了