關(guān)于強(qiáng)極限定理的若干研究及應(yīng)用.pdf

1、概率論是研究大量隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律的學(xué)科.用數(shù)學(xué)語言來說,就是研究對隨機(jī)現(xiàn)象的觀察次數(shù)趨于無窮時,"它的極限"呈現(xiàn)出的某種規(guī)律性.因此強(qiáng)極限理論在概率論中占有重要地位.二十世紀(jì)六十年代以來,繼獨立隨機(jī)變量和序列的極限理論獲得完善發(fā)展之后,各種混合隨機(jī)變量序列、相伴隨機(jī)變量序列及鞅的強(qiáng)極限理論又有很大發(fā)展,我國學(xué)者在這方面做出了許多出色的工作,在國際上也有一定的影響(參見[43,76,108,81,77,82]).強(qiáng)極限理論在國際上的文獻(xiàn)

2、浩如爝海.關(guān)于強(qiáng)極限理論的經(jīng)典結(jié)果可參見專著[14,13,70,28,79],而最近的文獻(xiàn)可參見[31,4,32,69,16,11].信息論的熵定理也稱shannon-McMillan定理或信源的漸進(jìn)均分割性 (AEP),是信息論的基本定理.是各種編碼定理的基礎(chǔ).關(guān)于熵定理的最新發(fā)展可參考文獻(xiàn)[26]. 設(shè){X<,n>,n≥0}為隨機(jī)變量序列,如果E[f(X<,n+1>)|X<,0>,…,X<,n>]=E[f(X<,n+1>)|

3、X<,n>]a.s. (-1.0.1)其中f為有界函數(shù).則稱{X<,n>,n≥0}為馬氏鏈.如果E[f(X<,n+1>)|X<,n>]與n有關(guān),則稱{X<,n>,n≥0}為非齊次馬氏鏈,如果E[f(X<,n+1>)|X<,n>]與n無關(guān),則稱 {X<,n>,n≥0)為齊次馬氏鏈.如果{X<,n>,n≥0}在有限或可列狀態(tài)空間取值,則稱之為有限或可列馬氏鏈,如果{X<,n.>,n≥0}在一般狀態(tài)空間取值,則稱之為在一般狀態(tài)空間取值

4、的馬氏鏈.如果E[f(X<,n+1>)|X<,0>,…,X<,n>]=E[f(X<,n+1>)|X<,n>,…,X<,n-k+1>]a.s. (-1.0.2)且{X<,n>,n≥0}與n有關(guān)，則稱{X<,n>,n≥0}為非齊次к階馬氏鏈,馬氏隨機(jī)場是馬氏過程推廣到多維指標(biāo)情形。由于有廣泛的應(yīng)用前景而受到物理學(xué)、概率論、信息論界的廣泛興趣.由于馬氏隨機(jī)場具有相變現(xiàn)象,其研究內(nèi)容更加深刻且具有很大的難度.馬氏隨機(jī)場理論是近年來發(fā)展起

5、來的概率論重要分支之一,而馬氏隨機(jī)場極限理論又是其中重要的研究內(nèi)容.其中關(guān)于馬氏隨機(jī)場強(qiáng)極限定理的研究目前尚無系統(tǒng)和深刻的結(jié)果.本博士論文將推進(jìn)這方面的研究.設(shè){x<,n>,F<,n>,n≥0)是一隨機(jī)序列,即F<,n F<,n+1>且x<,n>是F<.n>可測的.關(guān)于任意隨機(jī)變量序列的強(qiáng)極限定理(其推論是鞅的強(qiáng)大數(shù)定律),目前已有經(jīng)典的結(jié)果(參見[28,79])。 強(qiáng)偏差定理是由不等式表示的一類強(qiáng)極限定理，是由等式表示的一類強(qiáng)

6、極限定理的推廣,是劉文開辟的研究強(qiáng)極限定理一個新的方向(參見[36])。 近年來,本博士論文作者與劉文教授合作，采用與傳統(tǒng)方法不同的研究方法(參見[36]),在非齊次馬氏鏈強(qiáng)大數(shù)定律、信息論熵定理、任意隨機(jī)變量序列的強(qiáng)極限定理、任意離散隨機(jī)變量序列的強(qiáng)偏差定理及樹圖上馬氏鏈場的強(qiáng)大數(shù)定律與熵定理等方面進(jìn)行了一系列研究,在國內(nèi)外重要學(xué)術(shù)刊物上發(fā)表了一系列論文,其中部分結(jié)果已總結(jié)在專著[40]中. 本博士論文分為五章. 第零

7、章,基本概念,主要結(jié)論和方法介紹. 第一章,利用一致平均強(qiáng)遍歷的條件,研究了可列非齊次馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定律及熵定理. 第二章：首先研究了有限m階非齊次馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定律及熵定理,其次研究了可列m階非齊次馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定律及熵定理. 第三章：1、研究了齊次樹圖上一類非齊次樹指標(biāo)馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定律及熵定理.2、研究了齊次樹圖上奇偶馬氏鏈場的若干強(qiáng)大數(shù)定律及熵定理. 第四章：1、研究了一類隨機(jī)適應(yīng)序列的強(qiáng)極限定理