兩類非線性發(fā)展方程組的大時(shí)間狀態(tài)估計(jì).pdf

1、本文將研究兩類非線性發(fā)展方程組的大時(shí)間狀態(tài)行為,分別為帶阻尼的高維Euler方程組和帶外加磁場的Vlasov-Poisson-Boltzmann方程組。
　　 早在18世紀(jì),Euler在研究宏觀流體的運(yùn)動(dòng)時(shí),利用牛頓經(jīng)典力學(xué)理論,通過質(zhì)量守恒、動(dòng)量守恒以及能量守恒,推導(dǎo)出了重要的Euler方程組,從此開始了用微分方程進(jìn)行流體運(yùn)動(dòng)定量研究的階段,也標(biāo)志著流體動(dòng)力學(xué)作為一個(gè)分支學(xué)科的建立。Euler方程組處理的是理想流體的流動(dòng),然而

2、,隨著研究的進(jìn)一步深入,為滿足實(shí)際問題的需要,很多情形下人們還需用形式上更為復(fù)雜的方程組來揭示真實(shí)流體中出現(xiàn)的現(xiàn)象,比如當(dāng)考慮流體的粘性及熱傳導(dǎo)效應(yīng)、介質(zhì)的阻尼作用或者外力場的影響等時(shí),分別對(duì)應(yīng)Navier-Stokes方程組、帶阻尼的Euler方程組或者Euler-Poisson方程組等經(jīng)典物理模型。
　　 本文首先考慮的是高維空間中帶阻尼的Euler方程組的平面擴(kuò)散波問題,將得到高維平面擴(kuò)散波的穩(wěn)定性與Lp收斂估計(jì)?；趯?duì)方

3、程的解的高低頻分解以及其對(duì)應(yīng)近似格林函數(shù)的高低頻分解,文中引進(jìn)了一種新的能量估計(jì)方法,不妨稱之為基于高低頻分解和近似格林函數(shù)的能量估計(jì)方法,對(duì)解的低頻部分運(yùn)用近似格林函數(shù)進(jìn)行Lp估計(jì),對(duì)高頻部分進(jìn)行通常的L2能量估計(jì)。這是因?yàn)榻聘窳趾瘮?shù)的高頻部分具有強(qiáng)奇異性,而解的低頻部分的能量估計(jì)不能像一維情形時(shí)用反導(dǎo)數(shù)來封閉,因此需結(jié)合兩種方法的長處。由于近似格林函數(shù)的低頻部分具有代數(shù)級(jí)衰減,也是決定大時(shí)間狀態(tài)的主要部分(高頻部分具有指數(shù)級(jí)衰減)

4、,通過直接對(duì)解的高頻部分作能量估計(jì),避免了對(duì)近似格林函數(shù)高頻部分強(qiáng)奇異性的分析并可得到同樣的代數(shù)級(jí)衰減。高頻部分的能量估計(jì)能夠自封閉,是因?yàn)槠浔旧頋M足的Poincaré不等式。這樣結(jié)合近似格林函數(shù)的能量估計(jì)方法還可以運(yùn)用到更一般的一類滿足Kawashima條件的雙曲-拋物方程組,以及其系數(shù)具有一定時(shí)間衰減性的方程組。
　　 對(duì)宏觀流體進(jìn)行描述時(shí),考察的對(duì)象不是流體單個(gè)分子的微觀性質(zhì),而是由大量分子組成的流體微團(tuán)的宏觀性質(zhì)。然而,

5、流體的宏觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)本質(zhì)上應(yīng)該是由流體分子的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)所決定的。理論上,利用經(jīng)典力學(xué)下的分子動(dòng)力學(xué),人們可以計(jì)算分子尺度上的所有細(xì)節(jié),然后求得宏觀流體的物理性質(zhì)。但是,由于計(jì)算能力的限制,這一方法并不現(xiàn)實(shí),并且也沒有必要研究每一個(gè)分子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。于是,采用統(tǒng)計(jì)描述更為合理,從而Boltzmann方程應(yīng)運(yùn)而生。
　　 在描述帶電粒子在電場或磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí),還應(yīng)該考慮電場或磁場對(duì)帶電粒子運(yùn)動(dòng)的影響。帶作用力的分子運(yùn)動(dòng)可以甩Vlaso

6、v型Boltzmann方程描述。特別地,其中兩類經(jīng)典的物理模型Vlasov-Poisson-Boltzmann方程組與Vlasov-Maxwell-Boltzmann方程組可用于很好的描述帶電粒子的運(yùn)動(dòng)。
　　 本文考慮的另一個(gè)問題是帶外加磁場的Vlasov-Poisson-Boltzmann方程組初值在全局Maxwellian附近小擾動(dòng)下經(jīng)典解的整體存在性。不同于Vlasov-Maxwell-Boltzmann方程組考慮的是自

7、身運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的電、磁場,該模型考慮的作用力包括帶電粒子自身運(yùn)動(dòng)誘導(dǎo)的電場和外加磁場所產(chǎn)生的電磁力。與外加磁場相比,當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)速度較慢時(shí),自身誘導(dǎo)的磁場可以忽略不計(jì)。本文將證明當(dāng)外加磁場為常數(shù)時(shí),解的整體存在性不受外加磁場的影響。
　　 文中的證明方法基于[Liu-Yang-Yu:Energy method for Boltzmann equation.PhysicaD,188(3-4)(2004),178-192]中引進(jìn)的對(duì)Bol