一類非線性波動方程有界行波解的研究.pdf

1、非線性波動方程是非線性科學(xué)研究的一個重要分支，其求解問題一直是非線性科學(xué)研究中的前沿和熱點。非線性波動方程精確解的研究不僅有助于理解孤立子理論的本質(zhì)屬性和代數(shù)結(jié)構(gòu)，而且對相應(yīng)自然現(xiàn)象的合理解釋及實際應(yīng)用將起到重要的作用。由于非線性波動方程的復(fù)雜性，致使方程求解目前并無統(tǒng)一的、系統(tǒng)的方法，盡管現(xiàn)在已經(jīng)發(fā)展了一些有效的研究方法，但這些方法大多是解決方程特定類型的解，對非線性波動方程解的全局漸近行為無法做到全面了解，并且給出的解大多不能明確其

2、是否有界。本論文利用首次積分法和動力系統(tǒng)的分岔方法研究了非線性波動方程的有界行波解，包括Degasperis-Procesi方程、帶有色散項的Degasperis-Procesi方程以及雙組份Degasperis-Procesi方程。利用動力系統(tǒng)的分岔方法在解決非線性波動方程求解問題時，不僅可以區(qū)分出系統(tǒng)軌道的有界性以及對應(yīng)行波解的有界性，而且還可同時給出這些行波解產(chǎn)生的參數(shù)條件以及解的形狀。本文的研究豐富和發(fā)展了非線性波動方程的求解方

3、法。
　　 第1章介紹了非線性波動方程研究的歷史背景，并對本文研究的方程介紹了其研究進(jìn)展和研究意義。
　　 第2章簡要回顧了孤立波理論的背景知識，概述了當(dāng)前孤子方程求解的常見方法，最后介紹了本文研究中所需要用到的相關(guān)理論和方法。
　　 第3章在交換代數(shù)環(huán)論的基礎(chǔ)上，利用首次積分法研究了Degasperis-Procesi方程以及帶有色散項的Degasperis-Procesi方程的精確行波解，最后得到的解形式較之

4、以前更具有一般性，擴展了該類方程解的范圍。
　　 第4章考慮到參數(shù)對方程解的形式影響很大，而利用方程對應(yīng)行波系統(tǒng)的相圖可以更好地理解參數(shù)對系統(tǒng)解的影響，因此，用動力系統(tǒng)的分岔方法研究了帶有色散項的Degasperis-Procesi方程的孤立波解、周期尖波解、尖峰孤立波解。分析了系統(tǒng)參數(shù)及奇異線對系統(tǒng)解結(jié)構(gòu)的影響，討論了各種行波解之間的演化過程及相互作用模式，特別的對于尖峰孤立波解的形成和機理從動力學(xué)的角度予以了討論。
　

5、　 第5章用動力系統(tǒng)的分岔方法研究了雙組份Degasperis-Procesi方程的有界行波解。通過對平衡點的分析給出參數(shù)平面上對應(yīng)系統(tǒng)的相圖，由相軌道的各種類型討論對應(yīng)行波解的性質(zhì)，從而給出各類解存在的參數(shù)條件，進(jìn)而了解這些系統(tǒng)所有可能存在的有界行波解，包括孤立波解、周期波解、Breaking kink(anti-kink)波解、以及Loop解，最后借助數(shù)值模擬及數(shù)學(xué)軟件給出了部分解的圖像。
　　 第6章對本文所做的研究工作