師范數(shù)學(xué)畢業(yè)論文-發(fā)散性思維在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

1、<p><b>　　目 錄</b></p><p>　　摘要………………………………………………………………………………2</p><p>　　Abstract………………………………………………………………………2</p><p>　　1 引言………………………………………………………………………………2</p>

2、<p>　　1.1 發(fā)散性思維的定義………………………………………………………3</p><p>　　1.2 發(fā)散性思維的特征………………………………………………………3</p><p>　　1.3 發(fā)散思維的幾種形式……………………………………………………4</p><p>　　1.3.1 橫向發(fā)散…………………………………………………………4<

3、/p><p>　　1.3.2 縱向發(fā)散…………………………………………………………4</p><p>　　1.3.3 逆向發(fā)散…………………………………………………………5</p><p>　　1.3.4 窮舉式發(fā)散………………………………………………………5</p><p>　　2 發(fā)散思維在教學(xué)中的作用……………………………………………………

4、…6</p><p>　　2.1 在教學(xué)中不斷強(qiáng)化思維發(fā)散的意識(shí)……………………………………5</p><p>　　2.1.1 發(fā)散性的提問……………………………………………………6</p><p>　　2.1.2 鼓勵(lì)一題多解和一題多變………………………………………6</p><p>　　2.2 教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生思維發(fā)散動(dòng)機(jī)及其能力……………

5、…………………6</p><p>　　2.3 在教學(xué)中充分創(chuàng)設(shè)思維發(fā)散的環(huán)境……………………………………7</p><p>　　3 幾個(gè)利用發(fā)散性思維解決的典型例題的分析…………………………………7</p><p>　　3.1 數(shù)學(xué)發(fā)散能力的訓(xùn)練……………………………………………………8</p><p>　　3.2 數(shù)學(xué)想象能力的訓(xùn)練…………

6、…………………………………………9 3.3數(shù)學(xué)直覺能力的訓(xùn)練…………………………………………………11</p><p>　　3.4 數(shù)學(xué)猜測能力的訓(xùn)練…………………………………………………11</p><p>　　參考文獻(xiàn)……………………………………………………………………………12</p><p>　　致 謝……………

7、…………………………………………………………………13</p><p>　　發(fā)散性思維在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用</p><p>　　數(shù)學(xué)與信息學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2005級(jí) 指導(dǎo)教師:吳明忠</p><p>　　摘要：發(fā)散思維是從同一材料探求不同解答的思維過程，思維方向分散于從不同方面進(jìn)行思考。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，發(fā)散思維表現(xiàn)為依據(jù)定義、定理、 公式和已知條件，思維朝著各

8、種可能的方向擴(kuò)散前進(jìn)。不局限于既定的模式，從不同的角度尋找解決問題的途徑。 </p><p>　　本文首先介紹了發(fā)散性思維的特征，討論了發(fā)散性思維在初等數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用，最后就怎樣培養(yǎng)訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散性思維能力提出幾點(diǎn)思考，并得出了相關(guān)結(jié)論。</p><p>　　關(guān)鍵字：發(fā)散性思維；發(fā)散思維意識(shí)；發(fā)散思維動(dòng)機(jī)；初等數(shù)學(xué)教學(xué)</p><p>　　Divergent T

9、hinking in Mathematics Teaching in the secondary role TIAN TaoInformation Institute of Mathematics and Applied Mathematics, Mathematics and the guidance of professional teachers in 2005: WU Mi

10、ng-zhongAbstract: Divergent thinking is different from the same material to explore answers to the thought processes, ways of thinking are scattered in the direction of thinking from different aspects. In mathematics le

11、arning, divergent thinking is based on the perfor</p><p><b>　　1 引言</b></p><p>　　隨著知識(shí)經(jīng)濟(jì)時(shí)代的到來和信息技術(shù)革命深人，創(chuàng)造被歷史地推上了殿堂，飾演著越來越重要的角色，創(chuàng)新與創(chuàng)造能力已經(jīng)成為國家強(qiáng)盛之源和社會(huì)發(fā)展之本。創(chuàng)造性思維與人的創(chuàng)造力密切相關(guān)，發(fā)散性思維是創(chuàng)造性思維的核心。

12、吉爾福特曾指出：“要在學(xué)校教學(xué)方面啟發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，就必須從求同轉(zhuǎn)向于求異的方式。”徐利治教授也曾提出：“一般說來，數(shù)學(xué)上的新思想、新概念和新方法往往來源于發(fā)散思維。所以按照心理學(xué)家的見解，數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造能力的大小應(yīng)和他們的發(fā)散思維能力成正比?！钡蔷腿绾卧趯W(xué)科教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維而言，有關(guān)于此的探討還不太多，本文就此做一些探討。 </p><p>　　1.1 發(fā)散性思維的定義</p>&

13、lt;p>　　發(fā)散性思維又名輻射型思維，是指沿著各種不同的方面去思考，重組眼前的信息和記憶中的信息，產(chǎn)生新的有用的信息，即對(duì)已知信息沿著不同的方向，不同的角度思考問題，不局限于既定的理解，從而提出新問題、探索新知識(shí)或發(fā)現(xiàn)多種解答和多種結(jié)果的思維方式。對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的想象能力、創(chuàng)造性思維能力，提高學(xué)生觀察問題、解決問題的能力有著重要意義。</p><p>　　1.2 發(fā)散性思維的特征</p>&

14、lt;p>　　美國心理學(xué)家吉爾福特認(rèn)為，發(fā)散性思維有三個(gè)特征：多端性、變通性和獨(dú)特性。</p><p>　　(1)多端性也稱流暢性，流暢的基本特征是數(shù)學(xué)思維通道暢通無阻，思維向多個(gè)方面發(fā)散。大腦對(duì)外界數(shù)學(xué)知識(shí)信息的分析、加工、重組的速度快，輸出輸入的量大，對(duì)同一個(gè)數(shù)學(xué)問題能提出多種設(shè)想，多個(gè)答案，即對(duì)一個(gè)問題多開端，從而產(chǎn)生許多聯(lián)想，獲得多種多樣的結(jié)論。它的重點(diǎn)是“多”字，對(duì)同一個(gè)問題的思維方向多、角度多、

15、途徑多，從而得出多種可能解決的方案或產(chǎn)生新的結(jié)論，即答案多。如數(shù)學(xué)教學(xué)中的一空多填、一式多變、一題多問、一題多解、一題多答。</p><p>　　(2)變通性又稱為靈活性，是指思維形式不受固定格式的限制，思維方向多，即可橫向，又可縱向，還可逆向。換元的機(jī)制強(qiáng)，固定的到可變的、已知的到未知的、單一的到多個(gè)的、形式靈活善變，一題多變，代數(shù)、幾何、三角、高等數(shù)學(xué)、初等數(shù)學(xué)的知識(shí)交融使用。變通性是應(yīng)付和解決變化問題的關(guān)鍵

16、，是發(fā)散思維的重要標(biāo)志。教學(xué)中，注重思維方式的逆向引導(dǎo)，讓學(xué)生擺脫定向思維的束縛，加強(qiáng)事物的內(nèi)涵和外延的溝通聯(lián)系，注意定義、公式的逆向推導(dǎo)與使用，使學(xué)生逐步養(yǎng)成雙向思考問題的好習(xí)慣，善于從不同的立場、角度、層次探索問題，拓展思維。它反映了數(shù)學(xué)發(fā)散思維的數(shù)量特征。</p><p>　　(3)獨(dú)特性，是指思維方式求異，新穎奇特，一題多想，千方百計(jì)尋求最有解法，創(chuàng)優(yōu)機(jī)制強(qiáng)烈，思維結(jié)果有創(chuàng)新的特點(diǎn)就是擺脫人們的共識(shí)和傳統(tǒng)

17、觀念的思維定勢，從另外的角度提出完全不同、但有一定依據(jù)的全新觀點(diǎn)。要改變完全輸入式的教學(xué)方式，在講授法中應(yīng)結(jié)合討論法、自學(xué)指導(dǎo)法，鼓勵(lì)學(xué)生大膽開拓，積極思考，同中求異；在解決問題中應(yīng)注意多種解法；在問題討論中，應(yīng)注意多種結(jié)論，不斷拓展學(xué)生的思維方向和思維空間。進(jìn)行發(fā)散思維獨(dú)特性訓(xùn)練的主要方式有：新高度闡述。當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了某一理論知識(shí)以后，教師引導(dǎo)學(xué)生回頭，從新的理論高度重新思考已學(xué)過的舊知識(shí)，從而提出新的見解，并做出更深刻、更準(zhǔn)確、更全面

18、的表達(dá)。</p><p>　　1.3 發(fā)散思維的幾種形式</p><p>　　數(shù)學(xué)發(fā)散思維的展開形式有：橫向發(fā)散、縱向發(fā)散、逆向發(fā)散、窮舉式發(fā)散等形式。</p><p>　　1.3.1 橫向發(fā)散 </p><p>　　所謂橫向發(fā)散，就是由同一個(gè)來源的數(shù)學(xué)信息，與相關(guān)的各方面的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)、知識(shí)線、知識(shí)塊相聯(lián)系，章節(jié)內(nèi)部、各章之間，甚至數(shù)學(xué)各

19、分科之間的相互聯(lián)系。橫向發(fā)散有利于促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念、公式、定理的橫向拓廣、縱向深入。 </p><p>　　1.3.2 縱向發(fā)散 </p><p>　　所謂縱向發(fā)散，就是由同一個(gè)來源的數(shù)學(xué)信息從不同方面、不同角度去縱深聯(lián)想與推廣，從特殊到一般達(dá)到深化知識(shí)的目的，有利于培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力。&l

20、t;/p><p>　　1.3.3 逆向發(fā)散 </p><p>　　所謂逆向發(fā)散就是由同一個(gè)來源的數(shù)學(xué)信息根據(jù)它的特點(diǎn)從常有思維的反面或否定方面去思考和探索問題，順推不行考慮逆推，直接解決不行考慮間接解決，探討可能性發(fā)生困難時(shí)考慮不可能性，從對(duì)立統(tǒng)一中把握數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，澄清對(duì)某些數(shù)學(xué)概念的模糊認(rèn)識(shí)，更深刻、更透徹地理解新知識(shí)，有利于培養(yǎng)探索能力，開辟新的數(shù)學(xué)天地。</p>

21、<p>　　1.3.4 窮舉式發(fā)散 </p><p>　　所謂窮舉式發(fā)散就是由同一個(gè)來源的數(shù)學(xué)信息從已知到未知尋求已知的各種充分條件，并列地展開各種可能出現(xiàn)的輸出的合理聯(lián)想，聯(lián)想是由表及里、由淺入深、由此及彼、由簡到繁，從已知發(fā)散到未知的途徑和橋梁。由于數(shù)學(xué)信息具有各方面的相似性，而且，即使對(duì)一個(gè)方面而言，相似的信息也絕不止一個(gè)，所以，合理的聯(lián)想就不止一種，當(dāng)我們把握住問題的特點(diǎn)展開聯(lián)想時(shí)，就是一種發(fā)

22、散性的思維。</p><p>　　2 在教學(xué)活動(dòng)中培養(yǎng)發(fā)散思維</p><p>　　2.1 在教學(xué)中不斷強(qiáng)化思維發(fā)散的意識(shí)</p><p>　　意識(shí)是個(gè)體認(rèn)識(shí)世界和改造世界的根本。沒有意識(shí)，則人無以能為。在發(fā)散性思維的培養(yǎng)過程中，強(qiáng)化思維發(fā)散的意識(shí)同樣重要。學(xué)生強(qiáng)烈的思維發(fā)散意識(shí)對(duì)于發(fā)散性思維能力的提高，正如一件物體放在斜坡的高處它將滑向低處一樣，是一種重要的心

23、向。在教學(xué)中，強(qiáng)化學(xué)生的思維發(fā)散意識(shí)可從以下方面入手。</p><p>　　2.1.1 發(fā)散性的提問</p><p>　　發(fā)散性的提問以“除此之外，還有哪些?”、“如果，那會(huì)怎么樣?”為特點(diǎn)，通過這樣深層的剖析，旨在使學(xué)生思維呈立體擴(kuò)散，而不拘泥于一點(diǎn)。它不但可以涉及到橫向比較，也可以做出縱向概括。例如：“這個(gè)問題除用方程求解外，還可用什么方法?”、“請(qǐng)看下面這道題目，你能想到幾種解法?

24、”、“如果把這個(gè)問題的結(jié)論由此例式改為乘積式，你將會(huì)怎么想?”等等，多使用這樣的提問，學(xué)生的思維不至于僵化，他們會(huì)在解決問題的過程中多角度地思考問題，從而形成思維發(fā)散的習(xí)慣。</p><p>　　2.1.2 鼓勵(lì)一題多解和一題多變</p><p>　　數(shù)學(xué)往往以題海而著稱，我們要摒除“題海戰(zhàn)術(shù)”的陋習(xí)。但我們必須清醒地認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)習(xí)題的獨(dú)特地位，它不但可使學(xué)生鞏固知識(shí)，形成技能，而且如果在

25、選題時(shí)或解題時(shí)注重一題多解和一題多變，則可以很好地強(qiáng)化學(xué)生的思維發(fā)散意識(shí)。</p><p>　　在講勾股定理的證明時(shí)，既可以使用面積割補(bǔ)法，也可以放到平面直角坐標(biāo)系中解決，還可以通過相似法來解決。而使用割補(bǔ)法，又有不同的割補(bǔ)思路，可以拼成長方形，也可以拼成正方形，還可以拼成其它圖形。在演習(xí)一元二次方程問題時(shí)，可以讓學(xué)生使用不同的方法，讓他們?cè)趯?duì)不同方法特點(diǎn)的掌握上做出最</p><p>　

26、　佳選擇，使他們對(duì)不同的解題方法掌握得更加鞏固。更重要的是，培養(yǎng)他們思維的靈活性，強(qiáng)化學(xué)生的思維發(fā)散意識(shí)。</p><p>　　同樣，也可以使用一題多變來強(qiáng)化學(xué)生的思維發(fā)散意識(shí)。通過變換命題的題設(shè)與結(jié)論來使問題或由陳舊變得新穎，或由順向改為逆向，或由單一改為綜合。例如，在學(xué)習(xí)圓的垂徑定理內(nèi)容時(shí)，通過題設(shè)和結(jié)論的變換，不但能夠?qū)С稣n本中列出的有關(guān)推論，還會(huì)得出許多題目的考點(diǎn)與考察形式。</p><

27、;p>　　2.2 教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生思維發(fā)散動(dòng)機(jī)及其能力</p><p>　　動(dòng)機(jī)是激發(fā)、維持和調(diào)節(jié)個(gè)體活動(dòng)的原動(dòng)力。對(duì)于培養(yǎng)個(gè)體的發(fā)散性思維能力，形成個(gè)體思維發(fā)散的動(dòng)機(jī)也應(yīng)成為重要的部分。這可以從以下兩方面入手：</p><p>　　(1)通過數(shù)學(xué)史的教育，形成思維發(fā)散的激情</p><p>　　數(shù)學(xué)是自然科學(xué)中的基礎(chǔ)學(xué)科，有“皇后”之稱。從數(shù)學(xué)的起源、發(fā)展到

28、完善，無數(shù)位數(shù)學(xué)家為之奉獻(xiàn)了自己畢生的精力，他們開創(chuàng)性的工作將永為世人紀(jì)念。在數(shù)學(xué)的發(fā)展史中，如果能擷取數(shù)學(xué)家的利用思維發(fā)散解決問題的故事來教育學(xué)生，那么在這些數(shù)學(xué)前輩親身經(jīng)歷的鼓舞和激勵(lì)下，學(xué)生會(huì)在已形成的思維發(fā)散意識(shí)的基礎(chǔ)上，在解決問題的過程中，追求思維發(fā)散，利用思維發(fā)散，他們思維發(fā)散的動(dòng)機(jī)也將得以形成。</p><p>　　數(shù)學(xué)家們運(yùn)用創(chuàng)造性思維解決問題的故事是不勝枚舉的。宋朝時(shí)期的劉徽為了計(jì)算圓周率的數(shù)值

29、而發(fā)明了“割圓術(shù)”，即用圓內(nèi)接正多邊形的周長來代替計(jì)算圓的周長。這種思維正是思維發(fā)散的表現(xiàn)。我國數(shù)學(xué)家蘇步青小時(shí)候遇到這么一個(gè)問題：“甲乙兩個(gè)人從相距100米的A、B兩地相向而行，A的速度是每秒4米，B的速度是每秒6米，在他們開始出發(fā)時(shí)，A的身邊有一條狗，同時(shí)以每秒l0米的速度奔向B，在到達(dá)B后，再立即奔向A，就這樣往返奔跑于A和B之間，直到兩人相遇，問當(dāng)兩人相遇時(shí)，這條狗跑過的路程是多少”。蘇老避開小狗跑的路線不確定這一干擾因素，而抓

30、住小狗的速度恒定這一隱蔽因素，順利地解決了問題，他的思維也正是創(chuàng)造性思維的體現(xiàn)。這些數(shù)學(xué)家的故事，將會(huì)激起學(xué)生的創(chuàng)造動(dòng)機(jī)，點(diǎn)燃他們思維發(fā)散的火花。</p><p>　　(2)教師的創(chuàng)造教育觀和創(chuàng)造性教學(xué)</p><p>　　在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師作為教學(xué)活動(dòng)的主導(dǎo)者，他的創(chuàng)造教育觀念及行為對(duì)學(xué)生形成思維發(fā)散動(dòng)機(jī)有潛移默化的影響。因此，教師必須首先確立的創(chuàng)造教育觀，告訴學(xué)生“人人皆創(chuàng)造之人，

31、天天皆創(chuàng)造之時(shí)，處處皆創(chuàng)造之地”(陶行知，1943)。讓他們以思維發(fā)散為突破口，拓展思維空間，挖掘思維潛力，從自己開始，從現(xiàn)在開始，從每一節(jié)課和每一個(gè)內(nèi)容人手，展開自己想象的翅膀，讓自己的思維最大限度地輻射。通過教師的這種積極的創(chuàng)造教育觀的影響，使學(xué)生的動(dòng)機(jī)建立在現(xiàn)實(shí)的可行的基礎(chǔ)之上。</p><p>　　其次，為了進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的思維發(fā)散動(dòng)機(jī)，誘發(fā)他們的思維發(fā)散行為，教師要采取創(chuàng)造性的教學(xué)，通過自己的教學(xué)語言、

32、板書和教學(xué)程序等來體現(xiàn)思維發(fā)散的魅力。并達(dá)到鞏固知識(shí)、激發(fā)創(chuàng)造動(dòng)機(jī)的雙重目的。</p><p>　　2.3 在教學(xué)中充分創(chuàng)設(shè)思維發(fā)散的環(huán)境</p><p>　　創(chuàng)設(shè)一種寬松的、積極的讓學(xué)生敢于思維發(fā)散的環(huán)境非常重要。人本主義心理學(xué)家羅杰斯提出有利于創(chuàng)造性發(fā)展的兩個(gè)心理?xiàng)l件：“心理安全”和“心理自由”。這就要求教師一方面通過宏觀教學(xué)采用評(píng)價(jià)手段，創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生思維發(fā)散的氛圍，另一方面調(diào)控學(xué)

33、生群體內(nèi)部的氣氛，使之有利于思維發(fā)散。具體有以下幾種方式： </p><p>　　(1)運(yùn)用評(píng)價(jià)手段，創(chuàng)設(shè)利于學(xué)生思維發(fā)散的氛圍</p><p>　　評(píng)價(jià)是教學(xué)活動(dòng)中的一個(gè)重要部分。而實(shí)際上，在發(fā)展學(xué)生創(chuàng)造性思維，特別是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維的過程中，課堂教學(xué)評(píng)價(jià)更能發(fā)揮出它的能動(dòng)性。采用鼓勵(lì)性的評(píng)價(jià)是最基本的原則。學(xué)生回答問題時(shí)，可能沒有遵循教師的思路，或者甚至有點(diǎn)風(fēng)馬牛不相及，但學(xué)生的這些

34、回答至少表明了他們的思維在積極地活動(dòng)，甚至閃現(xiàn)了他們思維的新奇性與發(fā)散性。例如，在講平行線的概念時(shí)，教師往往舉出生活中常見的鐵軌以增強(qiáng)學(xué)生們的感性認(rèn)識(shí)，但這時(shí)一個(gè)學(xué)生卻站起來說，“鐵軌有時(shí)候是彎曲的?！边@個(gè)教師并沒有立即反駁，而是加以肯定，“這位同學(xué)的想法是很正確的，但我們現(xiàn)在例子中的鐵軌指的是直的一段，如果彎曲的話，那能叫做平行線嗎?”引導(dǎo)學(xué)生思考，從而加深了學(xué)生對(duì)平行線概念的理解。這種處理方法就很好地保護(hù)了學(xué)生思維發(fā)散的積極性，有助

35、于形成利于學(xué)生思維發(fā)散的環(huán)境。教師在課堂上一定要因勢利導(dǎo)，從鼓勵(lì)性評(píng)價(jià)人手，積極創(chuàng)設(shè)輕松的氛圍，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)散。</p><p>　　(2)融洽學(xué)生之間的關(guān)系及調(diào)控同齡團(tuán)體行為，形成學(xué)生敢于思維發(fā)散的環(huán)境</p><p>　　日本廣島大學(xué)教授片德雄等研究發(fā)現(xiàn)，課堂上的情緒氣氛有兩大類：一類為“支持型氣氛”，其特征是集體成員相互信任、體諒，無須擔(dān)心集體的壓力和他人的目光；另一類是“防衛(wèi)型氣

36、氛”，其特征是集體成員互不信任，心理處于不安狀態(tài)。支持型的學(xué)習(xí)氣氛有助于學(xué)生形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)態(tài)度，并使學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的動(dòng)力功能得到最大限度的發(fā)揮。而防衛(wèi)型的氣氛則會(huì)削弱學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，使學(xué)習(xí)活動(dòng)處于一種壓抑的狀態(tài)。好的同伴關(guān)系可使學(xué)生以輕松、愉悅的心境投入到學(xué)習(xí)活動(dòng)中去，并獲得一種友好、支持的暗示，形成利于思維發(fā)散的心理安全感。</p><p>　　受年齡特征的影響，從眾心理在青少年身上表現(xiàn)比較明顯。青少年由于

37、害怕被拒絕和受到嘲笑往往會(huì)屈從于同伴的壓力而做出一定的行為。因此，同齡團(tuán)體對(duì)創(chuàng)造性活動(dòng)，尤其是思維發(fā)散的態(tài)度和行為取向，將會(huì)對(duì)個(gè)體產(chǎn)生深刻的影響。在積極探索、開拓創(chuàng)新的團(tuán)體中，個(gè)體的思維發(fā)散將會(huì)受到他人的贊揚(yáng)和鼓勵(lì)，這同樣會(huì)使個(gè)體因獲得心理上的支持和言語上的表揚(yáng)而形成一種思維發(fā)散的安全感。</p><p>　　因此在課堂上，為了創(chuàng)設(shè)利于學(xué)生思維發(fā)散的環(huán)境，需注意做到以下幾點(diǎn)：在學(xué)生間建立融洽的同伴關(guān)系，消除他們的

38、不安情緒；調(diào)控學(xué)生同齡團(tuán)體對(duì)思維發(fā)散行為的態(tài)度及行為取向，以形成支持的氛圍；采用小組討論相互評(píng)價(jià)等方式，讓學(xué)生在參與中體驗(yàn)到合作與支持帶來的愉悅感。</p><p>　　3 幾個(gè)利用發(fā)散性思維解決的典型例題的分析</p><p>　　數(shù)學(xué)發(fā)散思維能力的訓(xùn)練分為以下幾個(gè)方面：發(fā)散意識(shí)的訓(xùn)練，數(shù)學(xué)想象能力的訓(xùn)練，數(shù)學(xué)直覺能力的訓(xùn)練，數(shù)學(xué)猜測能力的訓(xùn)練。</p><p>

39、;　　3.1 數(shù)學(xué)發(fā)散意識(shí)的訓(xùn)練</p><p>　　例3.1如何用6根火柴擺出4個(gè)正三角形？</p><p>　　思路分析: </p><p>　　如果在平面上試了又試，擺不成以后，思 </p><p>　　維要向空間方向發(fā)散，問題就解決了。

40、如圖3.1</p><p>　　所示，逆向思維的作用:在平面上能擺成嗎？為</p><p>　　什么不在空間中試著擺擺呢？運(yùn)用了逆向思維，</p><p>　　才能思維流暢；否則，必將使思維受阻。</p><p>　　例3.2(一題多解)解方程 </p><p>　　公式的逆用，一式多變，一題多問，一題多解，都是訓(xùn)練思

41、維變通性的方法。需要指出的是，每種方法不只是訓(xùn)練發(fā)散思維的一種特征。</p><p>　　這是五六十年代匈牙利數(shù)學(xué)奧林匹克競賽題。證明過程中得到的是嚴(yán)格不等式，因此我們猜想結(jié)論是否還可以加強(qiáng)。事實(shí)上，由上有</p><p>　　當(dāng)學(xué)生能獨(dú)立完成以上推理論證時(shí)，一種創(chuàng)造性工作成功的喜悅不但會(huì)增加對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，而且還將激勵(lì)學(xué)生更加自覺地從事這種創(chuàng)造性思維活動(dòng)。思維獨(dú)特性訓(xùn)練的途徑有以下幾

42、個(gè)方面：</p><p>　　(1)鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，使學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考的習(xí)慣。</p><p>　　(2)舉一反三，通過對(duì)媒體的條件和結(jié)論的改變，達(dá)到獲得新知識(shí)和培養(yǎng)能力的目的。</p><p>　　(3)不僅能夠證明命題，而且還要弄清命題是怎么來的，要自編題目，從事創(chuàng)造性工作。</p><p>　　3.2 數(shù)學(xué)想象能力的訓(xùn)練</

43、p><p>　　例3.4了解二元一次方程組解的幾何意義。</p><p>　　解:作出兩個(gè)一元函數(shù) </p><p>　　的圖像如右圖3.2所示： </p><p>　　方程組的解同時(shí)滿足上述兩個(gè)方程，所以它既在</p><p>　　上。因此二元一次方程組的幾何意義是，</p><p>　　兩個(gè)一元

44、方程的圖象的交點(diǎn)的坐標(biāo)。 </p><p>　　類似得到一元二次方程根的幾何意義是：拋物線了解與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。實(shí)際上，通過數(shù)形結(jié)合的 </p><p>　　方式也能巧妙解決問題。這是訓(xùn)練想象能力的重</p><p>　　要途徑，也是一種開拓解題思路的方法。 圖3.2</

45、p><p><b>　　例3.5設(shè)</b></p><p>　　思路分析：題中具有根式的結(jié)構(gòu)，很容易想到用勾股定理。結(jié)論中有所以我們構(gòu)造邊長為1的正方形。</p><p>　　證明：如圖3.3所示構(gòu)造邊長為1的正方形。</p><p><b>　　圖3.3</b></p><p>

46、;　　兩式相加即得原命題。該題實(shí)際上是將代數(shù)問題形象化。這也是一種有趣的發(fā)散性思維的方式。</p><p><b>　　數(shù)學(xué)直覺能力的訓(xùn)練</b></p><p><b>　　例3.6分解因式</b></p><p>　　解:直覺判斷該多項(xiàng)式可分解為:</p><p><b>　　這是一個(gè)

47、恒等式,取</b></p><p>　　從而原式有如下的分解形式:</p><p>　　由于數(shù)學(xué)思維中有許多抽象化、形式化和公理化的內(nèi)容，嚴(yán)格的推理和機(jī)械的演算較多，因此更應(yīng)注意自由想象思維習(xí)慣的培養(yǎng)。在處理數(shù)學(xué)想象時(shí)，要及時(shí)發(fā)現(xiàn)并放棄無用的想象，把注意力轉(zhuǎn)向更有意義更有希望的方面。數(shù)學(xué)想象既要自由發(fā)揮，又要隨時(shí)評(píng)價(jià)，這是我們處理數(shù)學(xué)想象的重要原則。</p>&l

48、t;p>　　數(shù)學(xué)直覺是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的直接領(lǐng)悟和洞察。它有時(shí)以頓悟的形式出現(xiàn)，有時(shí)以漸悟的形式表現(xiàn)出來。美國數(shù)學(xué)家 庫郎曾說：“直覺，這種難以捉摸和充滿活力的力量，始終在創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)中起作用，甚至推動(dòng)和引導(dǎo)最抽象的思維過程”。數(shù)學(xué)直覺具有以下的基本特點(diǎn)：</p><p>　　(1)非邏輯性。數(shù)學(xué)直覺的產(chǎn)生是難以用普通形式邏輯的推理解釋清楚的。</p><p>　　(2)數(shù)學(xué)直覺的產(chǎn)生往往

49、是下意識(shí)的，它有時(shí)在朦朧中逐漸呈現(xiàn)，有時(shí)如閃電般突然出現(xiàn)。</p><p>　　(3)富于情感的作用。這里所說的情感作用指的是獲得直覺的激情和對(duì)直覺的強(qiáng)烈信念。</p><p>　　在中學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)直覺能力表現(xiàn)為數(shù)學(xué)對(duì)象整體上直接把握的能力，以及直接領(lǐng)悟解題思路，直接領(lǐng)悟問題結(jié)果的能力。因此，數(shù)學(xué)直覺能力訓(xùn)練的關(guān)鍵是要勤于直覺訓(xùn)練，親自參加直覺思維的訓(xùn)練。</p><

50、p>　　3.4數(shù)學(xué)猜測能力的訓(xùn)練</p><p>　　數(shù)學(xué)猜測是根據(jù)已知數(shù)學(xué)條件和數(shù)學(xué)原理對(duì)未知的量及其關(guān)系的似真推斷。它既含有邏輯充分，又含有非邏輯充分，因此它具有一定的科學(xué)性和很大程度的假設(shè)性，可以真也可以假。</p><p>　　數(shù)學(xué)猜測是探索性思維。從事或進(jìn)行數(shù)學(xué)猜測的基本要求是要具有強(qiáng)烈的解題欲望、一定的知識(shí)準(zhǔn)備和較好的技巧準(zhǔn)備。牛頓甚至認(rèn)為“沒有大膽的猜測，就做不出偉大的

51、發(fā)現(xiàn)。”下面介紹幾種方法：</p><p>　　(1)通過類比提出猜想。</p><p>　　(2)通過歸納提出猜想。</p><p>　　(3)通過減弱或強(qiáng)化定理?xiàng)l件提出猜想。</p><p>　　(4)通過想象和直覺提出猜想。</p><p>　　(5)通過逆向思維提出猜想。</p><p>

52、;　　中學(xué)數(shù)學(xué)猜測能力的強(qiáng)弱，表現(xiàn)為猜測證明和命題結(jié)果的準(zhǔn)確與否。要提高數(shù)學(xué)的猜測能力，也必須積極進(jìn)行運(yùn)用猜測的實(shí)踐活動(dòng)。</p><p>　　新課改以后，教材中編入了鍛煉學(xué)生發(fā)散性思維和想象的內(nèi)容，以發(fā)展學(xué)生的想象力和各種不同的思維取向。同時(shí)教師對(duì)課堂教學(xué)的思維方式發(fā)生轉(zhuǎn)變，教師是學(xué)習(xí)活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者和參與者。教師不僅僅傳授學(xué)生知識(shí)，更要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的方法和思維，讓學(xué)生獲得學(xué)習(xí)的能力。教師要以學(xué)生發(fā)展為本，

53、適應(yīng)全體學(xué)生發(fā)展的需要，即明確學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)識(shí)發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上，體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的過程是在教師的引導(dǎo)下自我建構(gòu)、自我生成的過程。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該有意識(shí)引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，尤其是發(fā)散性思維，精心設(shè)計(jì)教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié)，培養(yǎng)有效的學(xué)習(xí)方法。使新課程改革順利進(jìn)行、落到實(shí)處。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)：</b></p><

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57、the Curriculum:Educating for the 21st Century.The Falmer Press,1992,16－17.</p><p><b>　　致 謝</b></p><p>　　在我畢業(yè)論文開題、調(diào)查、研究、和撰寫過程中，xx老師給予了我耐心、細(xì)致和全面的幫助，這會(huì)使我終生受益。同時(shí)在文章中參考了很多文獻(xiàn)和著作，在此表示衷心的感謝