求遞推數(shù)列通項公式的十種策略例析

1、求遞推數(shù)列通項公式的十種策略例析求遞推數(shù)列通項公式的十種策略例析遞推數(shù)列的題型多樣，求遞推數(shù)列的通項公式的方法也非常靈活，往往可以通過適當(dāng)?shù)牟呗詫栴}化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題加以解決，亦可采用不完全歸納法的方法，由特殊情形推導(dǎo)出一般情形，進(jìn)而用數(shù)學(xué)歸納法加以證明，因而求遞推數(shù)列的通項公式問題成為了高考命題中頗受青睞的考查內(nèi)容。筆者試給出求遞推數(shù)列通項公式的十種方法策略，它們是：公式法、累加法、累乘法、待定系數(shù)法、對數(shù)變換法、迭代法、

2、數(shù)學(xué)歸納法、換元法、不動點(diǎn)法、特征根的方法。仔細(xì)辨析遞推關(guān)系式的特征，準(zhǔn)確選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ茄杆偾蟪鐾椆降年P(guān)鍵。一、利用公式法求通項公式一、利用公式法求通項公式例1已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式。annn1n23a2a????2a1?an解：兩邊除以，得，則，nn1n23a2a????1n2?232a2ann1n1n????232a2ann1n1n????故數(shù)列是以為首，以為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式，得2ann1222

3、a11??23，所以數(shù)列的通項公式為。23)1n(12ann???annn2)21n23(a??評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，說明nn1n23a2a????232a2ann1n1n????數(shù)列是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項公式求出，進(jìn)而求出2ann23)1n(12ann???數(shù)列的通項公式。an二、利用累加法求通項公式二、利用累加法求通項公式例2已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。an1a1n2aa1n1n?????，an

4、解：由1n2aan1n????得1n2aan1n????則112232n1n1nnna)aa()aa()aa()aa(a??????????????1)1n(2n)1n(21)1n(]12)2n()1n[(21)112()122(]1)2n(2[]1)1n(2[????????????????????????????????所以數(shù)列的通項公式為an2nna?評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)1n2aan1n????1n2aan

5、1n????而求出，即得數(shù)列的通項公112232n1n1nna)aa()aa()aa()aa(?????????????an式。例5已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。an3aa5)1n(2a1nn1n?????，an解：因為，所以，則，3aa5)1n(2a1nn1n?????，0an?nn1n5)1n(2aa???則112232n1n1nnnaaaaaaaaaa??????????3]5)11(2[]5)12(2[]5)12n(2[]5)

6、11n(2[122n1n?????????????????35]23)1n(n[212)2n()1n(1n??????????????????所以數(shù)列的通項公式為an!n523a2)1n(n1nn??????評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為，進(jìn)nn1na5)1n(2a????nn1n5)1n(2aa???而求出，即得數(shù)列的通項公式。112232n1n1nnaaaaaaaaa?????????an例6（2004年全國15題）已知數(shù)列

7、滿足an)1n(a3a2aa1a321n1????????，，則的通項)2n(a)1n(1n????an????????2n2!n1n1an，，解：因為①)2n(a)1n(a3a2aa1n321n?????????所以②n1n3211nnaa)1n(a3a2aa??????????所以②式－①式得nn1nnaaa???則)2n(a)1n(an1n????則)2n(1naan1n????所以2232n1n1nnnaaaaaaaa?????