[學(xué)習(xí)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件第1章

1、華南農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系,,,Probability,概率論,第一章 隨機(jī)事件及其概率,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,第二章 隨機(jī)變量及其概率分布,第三章 二維隨機(jī)變量及其分布,隨機(jī)事件及其概率,第一章,隨機(jī)事件,隨機(jī)事件的概率,隨機(jī)事件的公理化定義及其性質(zhì),條件概率和乘法公式,全概率公式與Bayes公式,試驗(yàn)的獨(dú)立性與獨(dú)立試驗(yàn)概型,確定性現(xiàn)象 Certainty phenomena 在101325Ｐa的大氣壓下，將純凈水加熱到

2、 100℃時(shí)必然沸騰 垂直上拋一重物，該重物會(huì)垂直下落,隨機(jī)現(xiàn)象 Random phenomena擲一顆骰子，可能出現(xiàn)1，2，3，4，5，6點(diǎn)拋擲一枚均勻的硬幣，會(huì)出現(xiàn)正面向上、反面向上 兩種不同的結(jié)果,,什么是概率論,概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科,隨機(jī)試驗(yàn) Random Experiments,試驗(yàn)在相同的條件下可重復(fù)進(jìn)行 每次試驗(yàn)的結(jié)果具有多種可能性，而且在試驗(yàn)之前可 以確定試驗(yàn)的所有可

3、能結(jié)果 每次試驗(yàn)前不能準(zhǔn)確預(yù)言試驗(yàn)后會(huì)出現(xiàn)哪一種結(jié)果．,上拋一枚硬幣在一條生產(chǎn)線上，檢測(cè)產(chǎn)品的等級(jí)情況 向一目標(biāo)射擊,,實(shí)例,在隨機(jī)試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，而在大量重復(fù)試驗(yàn)中具有某種規(guī)律性的事件叫做隨機(jī)事件(random Events )，簡(jiǎn)稱事件（Events)． 隨機(jī)事件通常用大寫英文字母Ａ、Ｂ、Ｃ等表示．,例如： 在拋擲一枚均勻硬幣的試驗(yàn)中，“正面向上”是一 個(gè)隨機(jī)事件，可用Ａ＝｛正面向上｝表示

4、． 擲骰子，“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”是一個(gè)隨機(jī)事件，試驗(yàn)結(jié)果為2，4或6點(diǎn)，都導(dǎo)致“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”發(fā)生。,隨機(jī)事件 random Events,基本事件與樣本空間,僅含一個(gè)樣本點(diǎn)的隨機(jī)事件稱為基本事件．,樣本點(diǎn) Sample Point,樣本空間 Sample Space,基本事件,隨機(jī)試驗(yàn)中的每一個(gè)可能出現(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)果稱為這個(gè)試驗(yàn)的一個(gè) 樣本點(diǎn) ，記作 ．,全體樣本點(diǎn)組成的集合稱為這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間，記作Ω．即,含有多個(gè)

5、樣本點(diǎn)的隨機(jī)事件稱為復(fù)合事件．,Ω={ｔ| 0≤ｔ≤ T},,E4: 在一批燈泡中任意抽取一只，測(cè)試它的壽命,,E2: 射手向一目標(biāo)射擊，直到擊中目標(biāo)為止,E3: 從四張撲克牌J,Q,K,A任意抽取兩張。,E1: 擲一顆勻質(zhì)骰子，觀察骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),Ω={1,2,…},Ω={(J,Q),…(Q,A)},Ω={1，2，3，4，5，6},寫出下列試驗(yàn)的樣本空間,點(diǎn)數(shù)：一維離散型隨機(jī)變量,射擊次數(shù)：一維離散型隨機(jī)變量,壽命：一維連續(xù)型隨機(jī)

6、變量,二維離散型隨機(jī)變量,在隨機(jī)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件一般是由若干個(gè)基本事件組成的．,,A =｛出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)｝是由三個(gè)基本事件 “出現(xiàn)1點(diǎn)”、“出現(xiàn)3點(diǎn)” 、 “出現(xiàn)5 點(diǎn)” 組合而成的隨機(jī)事件．,樣本空間Ω的任一子集A稱為隨機(jī)事件,隨機(jī)事件（Random Events),例如，拋擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，那么“出現(xiàn)1點(diǎn)”、“出現(xiàn)2點(diǎn)”、...、“出現(xiàn)6 點(diǎn)”為該試驗(yàn)的基本事件．,屬于事件A的樣本點(diǎn)出現(xiàn)，則稱事件A發(fā)生。,特例—必然事件C

7、ertainty Events,必然事件,樣本空間Ω也是其自身的一個(gè)子集Ω也是一個(gè)“隨機(jī)”事件每次試驗(yàn)中必定有Ω中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)必然發(fā)生,“拋擲一顆骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)6”為 必然事件。,例,——記作Ω,特例—不可能事件Impossible Event,空集Φ也是樣本空間的一個(gè)子集,不包含任何樣本點(diǎn),不可能事件,Φ也是一個(gè)特殊的“隨機(jī)”事件,不可能發(fā)生,“拋擲一顆骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于6”是 不可能事件,例,——

8、記作Φ,隨機(jī)試驗(yàn)：拋擲硬幣,Tossing a coin,擲一枚均勻的硬幣，觀察它出現(xiàn)正面或反面的情況,試驗(yàn)的樣本點(diǎn)和基本事件,隨機(jī)試驗(yàn),樣本空間,H：“正面向上” T ：“反面向上”,Ω={H，T}．,試驗(yàn)：擲一枚硬幣三次，觀察它出現(xiàn)正面或反面的情況,隨機(jī)事件,Ω={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT},A=“正面出現(xiàn)兩次”,={HHT,HTH,THH},B=“反面出現(xiàn)三次”,={TTT},C=“正反次

9、數(shù)相等”,= Φ,D=“正反次數(shù)不等”,=Ω,隨機(jī)試驗(yàn)：拋擲兩顆骰子,Rolling two die,拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),隨機(jī)試驗(yàn),試驗(yàn)的樣本點(diǎn)和基本事件,樣本空間,Ω＝｛（1，1），（1，2）,（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），...，（6，1），（6，2），...，（6，6）｝．,隨機(jī)事件,試驗(yàn)：拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),A=“點(diǎn)數(shù)之和等于3”,={（1，2），（2，1）},B=“點(diǎn)數(shù)之和大于11”,={

10、6，6},C=“點(diǎn)數(shù)之和不小于2”,D=“點(diǎn)數(shù)之和大于12”,,= Φ,=Ω,事件的關(guān)系與運(yùn)算,給定一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，設(shè)Ω為其樣本空間，事件Ａ，Ｂ，Ak ( k =1 , 2 , 3 , ... ) 都是Ω的子集．,,事件,事件之間的關(guān)系與事件的運(yùn)算,集合,集合之間的關(guān)系與集合的運(yùn)算,,,,,事件Ａ發(fā)生必然導(dǎo)致事件Ｂ發(fā)生,子事件 (事件的包含Contain ）,事件Ａ的樣本點(diǎn)都是事件Ｂ的樣本點(diǎn),例如,拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),A=

11、{出現(xiàn)1點(diǎn)},B={出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)},記作,相等事件（Equal）,A=B,,事件A與事件B含有相同的樣本點(diǎn),例如：在投擲一顆骰子的試驗(yàn)中，事件“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)” 與事件“出現(xiàn)2，4或6點(diǎn)”是相等事件。,事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生,,,和事件 Union,由事件A與事件B所有樣本點(diǎn)組成,多個(gè)事件的和,積事件Intersection,ＡＢ,,Ａ∩Ｂ,多個(gè)事件的積,由事件Ａ和事件Ｂ的公共樣本點(diǎn)組成,,互斥事件 (互不相容事件

12、) Exclusive,,,,事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生,事件A與事件B沒有公共的樣本點(diǎn),,,,,,,對(duì)立事件 Contrary,事件A不發(fā)生,是由所有不屬于A的樣本點(diǎn)組成,性質(zhì),記作,Ａ－Ｂ,,,,差事件 Difference,由屬于事件A但不屬于事件B的樣本點(diǎn)組成,,,性質(zhì),完備事件組,完備事件組,,,,,,,,,,,,概率論 集合論樣本空間（必然事件） Ω

13、 全集不可能事件 Φ 空集Φ子事件 A?B 子集A?B和事件 A∪B 并集A∪B積事件 A∩B 交集A∩B 差事件 A-B 差集A-B 對(duì)立事件

14、 補(bǔ)集,小 結(jié),Venn圖演示集合的關(guān)系與運(yùn)算,事件之間的運(yùn)算律,交換律,結(jié)合律,分配律,摩根律,（1） 三次都擊中目標(biāo)：,（2） 至少有一次擊中目標(biāo)：,（3） 恰好有兩次擊中目標(biāo)：,,（4） 最多擊中一次：,,（5）至少有一次沒有擊中目標(biāo)：,（6）三次都沒有擊中目標(biāo)：,例：復(fù)合事件的表示,練一練,A,B,C為同一樣本空間的隨機(jī)事件，試用A，B，C的運(yùn)算表示下列事件,1） A，B，C 都不發(fā)生,2） A與B發(fā)生，

15、C不發(fā)生,3） A，B，C 至少有一個(gè)發(fā)生,4） A，B，C 中恰有二個(gè)發(fā)生,5） A，B，C 中至少有二個(gè)發(fā)生,6） 事件3）的對(duì)立事件,第二節(jié)隨機(jī)事件的概率,隨機(jī)事件的頻率Frequency,A=“出現(xiàn)正面”,隨機(jī)試驗(yàn),拋擲一枚均勻的硬幣,試驗(yàn)總次數(shù)n,將硬幣拋擲n次,隨機(jī)事件,事件A出現(xiàn)次數(shù)m,出現(xiàn)正面m次,隨機(jī)事件的頻率,,德.摩 根,試 驗(yàn) 者,拋 擲 次 數(shù)n,出現(xiàn)正面的次數(shù)m,出現(xiàn)正面的頻率m/n,2048,1061,

16、0.518,蒲 豐,4040,2048,0.5069,皮爾遜,12000,6019,0.5016,皮爾遜,24000,12012,0.5005,維 尼,0.4998,14994,30000,拋擲硬幣的試驗(yàn)Experiment of tossing coin,歷史紀(jì)錄,程序模擬,拋擲硬幣模擬試驗(yàn),隨機(jī)事件A在相同條件下重復(fù)多次時(shí)，事件A 發(fā)生的頻率在一個(gè)固定的數(shù)值p附近擺動(dòng)，隨試驗(yàn)次數(shù)的增加更加明顯,頻率和概率,頻率的穩(wěn)定性

17、,事件的概率,事件A的頻率穩(wěn)定在數(shù)值p，說(shuō)明了數(shù)值p可以用來(lái)刻劃事件Ａ發(fā)生可能性大小，可以規(guī)定為事件A的概率,對(duì)任意事件Ａ，在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)，事件Ａ發(fā) 生的頻率 m/n，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大而穩(wěn)定地在某個(gè)常數(shù) 附近擺動(dòng)那么稱p為事件Ａ的概率,,概率的統(tǒng)計(jì)定義,當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí)，可以用事件A發(fā)生的頻率近似的代替事件A的概率,再分析一個(gè)例子，為檢查某種小麥的發(fā)芽情況，從一大批種子中抽取10批種子做發(fā)芽試驗(yàn)，其結(jié)果如表1-2：

18、,從表1-2可看出，發(fā)芽率在0.9附近擺動(dòng)，隨著n的增大，將逐漸穩(wěn)定在0.9這個(gè)數(shù)值上.,,概率的統(tǒng)計(jì)定義,頻率 穩(wěn)定于概率,性質(zhì),（1）,（2）,有限性,每次試驗(yàn)中，每一種可能結(jié)果的發(fā)生的可能性相同，即,其中 , .,古典概率模型,每次試驗(yàn)中，所有可能發(fā)生的結(jié)果只有有限個(gè)，即樣本空間Ω是

19、個(gè)有限集,等可能性,設(shè)試驗(yàn)結(jié)果共有n個(gè)基本事件ω1，ω2，...，ωn ，而且這些事件的發(fā)生具有相同的可能性,,,古典概型的概率計(jì)算,確定試驗(yàn)的基本事件總數(shù),事件Ａ由其中的m個(gè)基本事件組成,確定事件A包含的基本事件數(shù),拋擲一顆勻質(zhì)骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) , 求“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是不小于3的偶數(shù)”的概率．,Ａ=“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是不小于3的偶數(shù)”,古典概率的計(jì)算：拋擲骰子,事件A,試驗(yàn),拋擲一顆勻質(zhì)骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),樣本空間,={4，6},Ω ={

20、1，2，3，4，5，6},n=6,m=2,事件A的概率,設(shè)在100 件產(chǎn)品中，有 4 件次品，其余均為正品．,古典概率的計(jì)算：正品率和次品率,n＝ 100,這批產(chǎn)品的次品率,任取3件，全是正品的概率,任取3件，剛好兩件正品的概率,mA＝ 4,古典概率的計(jì)算：有放回抽樣和無(wú)放回抽樣,設(shè)在10 件產(chǎn)品中，有2件次品，8件正品．,A=“第一次抽取正品，第二次抽取次品”,第一次抽取后，產(chǎn)品放回去,第一次抽取后，產(chǎn)品不放回去,古典概率的計(jì)算：投

21、球入盒,把3個(gè)小球隨機(jī)地投入5個(gè)盒內(nèi)。設(shè)球與盒都是可識(shí)別的。,A=“指定的三個(gè)盒內(nèi)各有一球,B =“存在三個(gè)盒，其中各有一球,,,,古典概率的計(jì)算：生日問(wèn)題,某班有50個(gè)學(xué)生，求他們的生日各不相同的概率（設(shè)一年365天）,分析,此問(wèn)題可以用投球入盒模型來(lái)模擬,50個(gè)學(xué)生,365天,,,50個(gè)小球,365個(gè)盒子,相似地有分房問(wèn)題,房子,,盒子,人,,小球,生日問(wèn)題模型,某班有n個(gè)學(xué)生，設(shè)一年N天,則他們的生日各不相同的概率為,至少有兩人生

22、日相同的概率為,可能嗎？,沒問(wèn)題！,古典概率的計(jì)算：抽簽,10個(gè)學(xué)生，以抽簽的方式分配3張音樂會(huì)入場(chǎng)券，抽取10張外觀相同的紙簽，其中3張代表入場(chǎng)券.求 A={第五個(gè)抽簽的學(xué)生抽到入場(chǎng)券}的概率。,基本事件總數(shù),基本事件總數(shù),第五個(gè)學(xué)生抽到入場(chǎng)券,另外9個(gè)學(xué)生抽取剩下9張,所以抽簽后千萬(wàn)別和別人說(shuō)結(jié)果?。。。?！,＝ 0.192,古典概率的計(jì)算：數(shù)字排列,用1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字構(gòu)成三位數(shù),沒有相同數(shù)字的三位數(shù)的概率,沒有相同數(shù)字的

23、三位偶數(shù)的概率,生活中的數(shù)字排列,彩票 買一注7位數(shù)中彩票的概率是？？？小概率事件的存在小概率事件的意義：飛機(jī)、火車、汽車的故障率都是小概率事件，小概率事件在一次試驗(yàn)中一般認(rèn)為不會(huì)發(fā)生，但是試驗(yàn)次數(shù)多就會(huì)必然發(fā)生。,匹 配 問(wèn) 題,某人寫了4封信和4個(gè)信封，現(xiàn)隨機(jī)地將信裝入信封中，求全部裝對(duì)的概率。,解 設(shè)“全部裝對(duì)”為事件A,總的基本事件數(shù)為 4！,A所包含的基本事件數(shù)為 1,所以,??,,概率的古典定

24、義,性質(zhì),（1）,（2）,幾何概型 Geometric Probability,將古典概型中的有限性推廣到無(wú)限性，而保留等可能性，就得到幾何概型。,事件A就是所投擲的點(diǎn)落在S中的可度量圖形A中,,幾何度量--------指長(zhǎng)度、面積或體積,特點(diǎn),有一個(gè)可度量的幾何圖形S,試驗(yàn)E看成在S中隨機(jī)地投擲一點(diǎn),一個(gè)質(zhì)地均勻的陀螺的圓周上均勻地刻有[0 , 5)上諸數(shù)字，在桌面上旋轉(zhuǎn)它，求當(dāng)它停下來(lái)時(shí)，圓周與桌面接觸處的刻度位于區(qū)間 [2 , 3

25、] 上的概率。,= [2 , 3],= 5- 0 = 5,= 3-2 = 1,幾何概型的計(jì)算,甲乙二人相約定6：00-6：30在預(yù)定地點(diǎn)會(huì)面，先到的人要等候另一人10分鐘后，方可離開。求甲乙二人能會(huì)面的概率，假定他們?cè)?：00-6：30內(nèi)的任意時(shí)刻到達(dá)預(yù)定地點(diǎn)的機(jī)會(huì)是等可能的。,,幾何概型的計(jì)算：會(huì)面問(wèn)題,解 設(shè)甲乙二人到達(dá)預(yù)定地點(diǎn)的時(shí)刻分別為 x 及 y（分鐘）, 則,二人會(huì)面,布豐的投針試驗(yàn),公元1777年的一天，法國(guó)

26、科學(xué)家D·布豐（D·buffon1707～1788）的家里賓客滿堂，原來(lái)他們是應(yīng)主人的邀請(qǐng)前來(lái)觀看一次奇特試驗(yàn)的。試驗(yàn)開始，但見年已古稀的布豐先生興致勃勃地拿出一張紙來(lái)，紙上預(yù)先畫好了一條條等距離的平行線。接著他又抓出一大把原先準(zhǔn)備好的小針，這些小針的長(zhǎng)度都是平行線間距離的一半。然后布豐先生宣布：“請(qǐng)諸位把這些小針一根一根往紙上扔吧！不過(guò)，請(qǐng)大家務(wù)必把扔下的針是否與紙上的平行線相交告訴我?！笨腿藗儾恢钾S先生要干什

27、么，只好客隨主便，一個(gè)個(gè)加入了試驗(yàn)的行列。一把小針扔完了，把它撿起來(lái)又扔。而布豐先生本人則不停地在一旁數(shù)著、記著，如此這般地忙碌了將近一個(gè)鐘頭。最后，布豐先生高聲宣布：“先生們，我這里記錄了諸位剛才的投針結(jié)果，共投針2212次，其中與平行線相交的有704次。總數(shù)2212與相交數(shù)704的比值為3.142?！闭f(shuō)到這里，布豐先生故意停了停，并對(duì)大家報(bào)以神秘的一笑，接著有意提高聲調(diào)說(shuō)：“先生們，這就是圓周率π的近似值！” 眾賓嘩然，一時(shí)議論紛紛

28、，個(gè)個(gè)感到莫名其妙；“圓周率π？這可是與圓半點(diǎn)也不沾邊的呀！”,幾何概型的計(jì)算：布豐投針問(wèn)題,設(shè)平面上畫著一些有相等距離2a（a>0）的平行線，向此平面上投一枚質(zhì)地勻稱的長(zhǎng)為2l（l<a）的針，求針與直線相交的概率。,解 設(shè)針的中點(diǎn)離較近直線的距離為d，針與較近直線的交角為θ。,則d與θ的可取值為,0<d<a , 0<θ<π,所求概率為,,幾 何 概 型,性質(zhì),（1）,（2）,一樓房共1

29、5層，假設(shè)電梯在一樓啟動(dòng)時(shí)有10名乘客，且乘客在各層下電梯是等可能的。試求下列事件的概率：A1={10個(gè)人在同一層下}；A2={10人在不同的樓層下}；A3={10人都在第15層下}；A4={10人恰有4人在第8層下}。,練一練,總的基本事件數(shù)：,各事件含有的基本事件數(shù)分別為：,A1 A2 A3 A4,1,解,所以，各事件的概率為：,………..,思考題,1、

30、 從五雙大小型號(hào)不同的鞋子中任意抽取四只，問(wèn)能湊成兩雙的概率是多少？,總的基本事件數(shù)：,有利事件數(shù)：,解,設(shè)“能湊成兩雙鞋”為事件A,所以，所求概率為,思考題,2， 一個(gè)圓的所有內(nèi)接三角形中，問(wèn)是銳角三角形的概率是多少？,解 以A為起點(diǎn)，逆時(shí)針方向?yàn)檎?B至A的曲線距離為x，C至A的 曲線距離為y，則,?ABC為銳角三角形,,或,思考題,2， 一個(gè)圓的所有內(nèi)接三角形中，問(wèn)是銳角三角形的概率是多少？,?ABC

31、為銳角三角形,,或,解 ……..,所求概率為,直角三角形？鈍角三角形？？,3，擲兩顆骰子，求事件“至少有一顆出現(xiàn)6點(diǎn)”，“點(diǎn)數(shù)之和為8”的概率。,解 總的基本事件數(shù)為,事件A“至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”所包含的基本事件數(shù)為,事件B“點(diǎn)數(shù)之和為8”所包含的樣本點(diǎn)為,所以,4， 包括甲，乙在內(nèi)的10個(gè)人隨機(jī)地排成一行，求甲與乙相鄰的概率。若這10個(gè)人隨機(jī)地排成一圈，又如何呢？,解 總的基本事件數(shù)為,排成行時(shí)，事件“甲乙相鄰”的基本事

32、件數(shù)為,排成圈時(shí)，事件“甲乙相鄰”的基本事件數(shù)為,所求概率為,概率的公理化定義及其性質(zhì),非負(fù)性：,規(guī)范性： Ｐ(Ω)=1,可列可加性：,那么，稱 為事件Ａ的概率．,概率的公理 化定義,Ｐ(Ａ)≥0,兩兩互不相容時(shí),Ｐ（Ａ1 ∪Ａ2 ∪…）=Ｐ（Ａ1）+Ｐ（Ａ2）+…,證明,由公理 3 知,所以,概率的性質(zhì),不可能事件的概率為零,注意事項(xiàng),但反過(guò)來(lái)，如果P（A）=0，未必有A=Φ,例如

33、：,一個(gè)質(zhì)地均勻的陀螺的圓周上均勻地刻有[0 , 5)上諸數(shù)字，在桌面上旋轉(zhuǎn)它，求當(dāng)它停下來(lái)時(shí)，圓周與桌面接觸處的刻度為2的概率等于0，但該事件有可能發(fā)生。,設(shè)A1，A2， … , An兩兩互不相容，則,證明,有限可加性,若 A B，則 P (B － A) = P(B) － P(A),,,,,Ｐ（Ｂ－Ａ）＝Ｐ（Ｂ）－Ｐ（Ａ）,,差事件的概率,對(duì)任意兩個(gè)隨機(jī)事件Ａ、Ｂ ，有,,加法定理,加法定理,證明,由于Ａ與其對(duì)立事件

34、互不相容，由性質(zhì)2有,而,所以,逆事件的概率,袋中有20個(gè)球，其中15個(gè)白球，5 個(gè)黑球，從中任取3個(gè)，求至少取到一個(gè)白球的概率．,設(shè)Ａ表示至少取到一個(gè)白球，Ａi 表示剛好取 到i個(gè)白球，i＝0，1，2，3， 則,方法１ （用互不相容事件和的概率等于概率之和）,Ｐ(A)＝Ｐ(A1∪Ａ2∪Ａ3)＝Ｐ(Ａ1)＋Ｐ(Ａ2)＋Ｐ(Ａ3),解,方法２ （利用對(duì)立事件的概率關(guān)系）,例,甲、乙兩人同時(shí)向目標(biāo)射擊一次，設(shè)甲擊中的概率為 0.85

35、 ，乙擊中的概率為 0.8 ．兩人都擊中的概率為 0.68 ．求目標(biāo)被擊中的概率．,解,設(shè)Ａ表示甲擊中目標(biāo)，Ｂ表示乙擊中目標(biāo)，Ｃ表示目標(biāo)被擊中， 則,,＝ 0.85 ＋ 0.8 － 0.68 ＝ 0.97,例,例,,已知P（A）=0.3,P(B)=0.6,試在下列兩種情形下分別求出P(A-B)與P(B-A),(1) 事件A,B互不相容,(2) 事件A,B有包含關(guān)系,解,(2) 由已知條件和性質(zhì)3,推得必定有,練一練,投擲兩顆骰子,試計(jì)

36、算兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和在4和10之間的概率（含4和10）.,解 設(shè)“兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和在4和10”為事件A,總的基本事件數(shù)為,所包含的樣本點(diǎn)為,所以,練一練,考察甲，乙兩個(gè)城市6月逐日降雨情況。已知甲城出現(xiàn)雨天的概率是0.3, 乙城出現(xiàn)雨天的概率是0.4, 甲乙兩城至少有一個(gè)出現(xiàn)雨天的概率為0.52, 試計(jì)算甲乙兩城同一天出現(xiàn)雨天的概率.,解 設(shè)A表示“甲城下雨”，B表示“乙城下雨”,則,所以,練一練,把6個(gè)小球隨機(jī)地投入6個(gè)

37、盒內(nèi)(球,盒可識(shí)別),求前三個(gè)盒當(dāng)中有空盒的概率.,解 設(shè) 表示第 個(gè)盒空著,則所求概率為,條件概率與乘法公式,條件概率 Conditional Probability,,拋擲一顆骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),A={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)}＝｛１，３，５｝,B={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)3}＝｛１，２，３｝,若已知出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)3，求出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)的概率,即事件 B 已發(fā)生，求事件 A 的概率?。校ǎ粒拢?A B 都發(fā)生，但樣本空間

38、縮小到只包含Ｂ的樣本點(diǎn),設(shè)Ａ，Ｂ為同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)隨機(jī)事件 , 且Ｐ（Ｂ）＞０， 則稱,為在事件Ｂ發(fā)生的條件下，事件Ａ發(fā)生的條件概率．,定義,條件概率 Conditional Probability,,,,,,,Sample space,Reduced sample space given event B,,條件概率 P(A|B)的樣本空間,,,概率 P(A|B)與P(AB)的區(qū)別與聯(lián)系,聯(lián)系：事件A，B都發(fā)生了,區(qū)別：,（1

39、）在P(A|B)中，事件A，B發(fā)生有時(shí)間上的差異，B先A后；在P（AB）中，事件A，B同時(shí)發(fā)生。,（2）樣本空間不同，在P(A|B)中，事件B成為樣本空間；在P（AB）中，樣本空間仍為 。,因而有,例 設(shè) 100 件產(chǎn)品中有 70 件一等品，25 件二等品，規(guī)定一、二等品為合格品．從中任取1 件，求 (1) 取得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率．,解,設(shè)Ａ表示取得一等品，Ｂ表示取得合格品，

40、則,（1）因?yàn)?00 件產(chǎn)品中有 70 件一等品，所以,,（2）方法1：,,方法2：,,因?yàn)?5 件合格品中有 70 件一等品，所以,三張卡片的游戲,假設(shè)老師的手里的三張卡片是不同的 現(xiàn)在把卡片放在包里搖晃一番，讓你隨意地抽出一張來(lái)，放在桌子上，這時(shí)候，卡片的一面就露了出來(lái)，是黑點(diǎn)或者是圓圈。假定露出的是個(gè)圓圈，要與你賭這張卡片的背面是什么？是黑點(diǎn)，還是圓圈。我賭的是正反面一樣，都是圓圈，那你只能賭黑點(diǎn)了。你覺得這個(gè)游戲公平嗎?很

41、明顯這張卡片不可能是黑點(diǎn)---黑點(diǎn)卡，因此，它要么是圓圈---圓圈卡，要么是黑點(diǎn)---圓圈卡，二者必居其一，這樣一來(lái)，這張卡片的背面不是黑點(diǎn)，就是圓圈，所以賭什么都一樣，全是公平的，你和我贏的機(jī)會(huì)均等，都是。,讓我們看看問(wèn)題出在哪里？？ 我千方百計(jì)要你相信的是，同樣可能發(fā)生的情況只有兩種。然而事實(shí)是，同樣可能發(fā)生的情況有三種 在這里你一定要把正反面區(qū)分開來(lái)看，將正面朝上視為一種情況，將反面朝上看成另一種情況。三張卡片隨意抽一張

42、放在桌子上，同樣可能發(fā)生的情況有六種：1.黑點(diǎn)---黑點(diǎn)卡的正面；2.黑點(diǎn)---黑點(diǎn)卡的反面；3.圓圈---黑點(diǎn)卡的正面；4.圓圈---黑點(diǎn)卡的反面；5.圓圈---圓圈卡的正面；6.圓圈---圓圈卡的反面。 因此，如果抽出的卡片放在桌子上，露出了圓圈，它所代表的情況可能是：圓圈---黑點(diǎn)卡的正面；圓圈---圓圈卡的正面；圓圈---圓圈卡的反面。 在這三種情況中，“正反面一樣”的情況占了兩種，因此，在玩了多次

43、以后，莊家就會(huì)三回里贏兩回，你的錢很快就會(huì)流入他的腰包里，這可以算是智力詐騙吧。,例 考慮恰有兩個(gè)小孩的家庭.若已知某一家有男孩，求這家有兩個(gè)男孩的概率；若已知某家第一個(gè)是男孩，求這家有兩個(gè)男孩（相當(dāng)于第二個(gè)也是男孩）的概率.（假定生男生女為等可能）,,Ω={ (男, 男) , (男 , 女) , (女 , 男) , (女 , 女) },解,于是得,,,故兩個(gè)條件概率為,乘法法則,,,,,,,,推廣,一批產(chǎn)品中有 4% 的次品

44、，而合格品中一等品占 45% .從這批產(chǎn)品中任取一件，求該產(chǎn)品是一等品的概率．,設(shè)Ａ表示取到的產(chǎn)品是一等品，Ｂ表示取出的產(chǎn)品是合格品， 則,,,于是,所以,,解,例,解,一個(gè)盒子中有６只白球、４只黑球，從中不放回地每次任取１只，連取２次，求 (1) 第一次取得白球的概率； (2) 第一、第二次都取得白球的概率； (3) 第一次取得黑球而第二次取得白球的概率．,設(shè)Ａ表示第一次取得白球, Ｂ表示第二次取得白球, 則,（2）,（3

45、）,（1）,例,練一練,全年級(jí)100名學(xué)生中，有男生（以事件A表示）80人，女生20人； 來(lái)自北京的（以事件B表示）有20人，其中男生12人，女生8人；免修英語(yǔ)的（以事件C表示）40人中，有32名男生，8名女生。求,練一練,某種動(dòng)物出生之后活到20歲的概率為0.7，活到25歲的概率為0.56，求現(xiàn)年為20歲的這種動(dòng)物活到25歲的概率。,解 設(shè)A表示“活到20歲”，B表示“活到25歲”,則,所求概率為,全概率公式與貝葉斯公式,解,一

46、、全概率公式,,＝ 0.6,一個(gè)盒子中有６只白球、４只黑球，從中不放回地每次任?。敝唬B?。泊危蟮诙稳〉桨浊虻母怕?例,A={第一次取到白球},全概率公式,設(shè)Ａ1 ，Ａ2 ，...，Ａn 構(gòu)成一個(gè)完備事件組，且Ｐ(Ａi )＞0，i＝1，2，...，n，則對(duì)任一隨機(jī)事件Ｂ，有,,,全概率公式,,,,,,,例 設(shè)播種用麥種中混有一等，二等，三等，四等四個(gè)等級(jí)的種子，分別各占95.5％，2％，1.5％，1％，用一等，二等，三等，四等種

47、子長(zhǎng)出的穗含50顆以上麥粒的概率分別為0.5，0.15，0.1，0.05，求這批種子所結(jié)的穗含有50顆以上麥粒的概率．,解,設(shè)從這批種子中任選一顆是一等，二等，三等，四等種子的事件分別是Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ａ4，則它們構(gòu)成完備事件組，又設(shè)Ｂ表示任選一顆種子所結(jié)的穗含有50粒以上麥粒這一事件，則由全概率公式：,,＝95.5％×0.5＋2％×0.15＋1.5％×0.1＋1％×0.05,＝0.4825,貝

48、葉斯公式 Bayes’ Theorem,后驗(yàn)概率,,,,,設(shè)A1，A2，…, An構(gòu)成完備事件組，且諸P（Ai）>0)B為樣本空間的任意事件，P（ B） >0 , 則有,( k =1 , 2 , … , n),證明,,,,,貝葉斯公式 Bayes’ Theorem,例 設(shè)某工廠有甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，已知各車間的產(chǎn)量分別占全廠產(chǎn)量的25 %， 35%， 40%，而且各車間的次品率依次為 5%

49、 ，4%， 2%．現(xiàn)從待出廠的產(chǎn)品中檢查出一個(gè)次品，試判斷它是由甲車間生產(chǎn)的概率．,解,設(shè)Ａ1 ，Ａ2 ，Ａ3 分別表示產(chǎn)品由甲、乙、丙車間生產(chǎn)，Ｂ表示產(chǎn)品為次品． 顯然，Ａ1 ，Ａ2 ，Ａ3 構(gòu)成完備事件組．依題意，有,Ｐ(Ａ1)＝ 25% , Ｐ(Ａ2)= 35% , Ｐ(Ａ3)＝ 40%,Ｐ(Ｂ|Ａ1)＝ 5% , Ｐ(Ｂ|Ａ2)＝4% , Ｐ(Ｂ|Ａ3)＝ 2%,Ｐ(Ａ1|Ｂ)＝,,,甲箱中有3個(gè)白球，2個(gè)黑球，乙箱中有1個(gè)

50、白球，3個(gè)黑球?，F(xiàn)從甲箱中任取一球放入乙箱中，再?gòu)囊蚁淙我馊〕鲆磺?。?wèn)從乙箱中取出白球的概率是多少？,解,設(shè)B=“從乙箱中取出白球”，,A=“從甲箱中取出白球”，,練一練,利用Bayse公式,愛滋病普查：使用一種血液試驗(yàn)來(lái)檢測(cè)人體內(nèi)是 否攜帶愛滋病病毒.設(shè)這種試驗(yàn)的假陰性比例為5% （即在攜帶病毒的人中，有5%的試驗(yàn)結(jié)果為陰 性），假陽(yáng)性比例為1%（即在不攜帶病毒的人中， 有1%的試驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性）.據(jù)統(tǒng)計(jì)人群中攜帶病毒者約占

51、1‰，若某人的血液檢驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性，試問(wèn)該人攜帶愛滋病毒的概率.（P27練習(xí)33）,討論,（貝葉斯公式）,符號(hào)引入：“攜帶病毒”為A，“實(shí)驗(yàn)呈陽(yáng)性”為B，則,求,已知在所有男子中有5%，在所有女子中有0.25%患有色盲癥。隨機(jī)抽一人發(fā)現(xiàn)患色盲癥，問(wèn)其為男子的概率是多少？（設(shè)男子和女子的人數(shù)相等）。,練一練,解：設(shè)A=“男子”，B =“女子” C=“這人有色盲”,設(shè)Ａ，Ｂ為同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)隨機(jī)事件 , 且Ｐ（Ｂ）＞０， 則稱,

52、為在事件Ｂ發(fā)生的條件下，事件Ａ發(fā)生的條件概率．,定義,條件概率 Conditional Probability,,,,,,,Sample space,Reduced sample space given event B,,條件概率 P(A|B)的樣本空間,,,乘法法則,,,,,,,,推廣,設(shè)Ａ1 ，Ａ2 ，...，Ａn 構(gòu)成一個(gè)完備事件組，且Ｐ(Ａi )＞0，i＝1，2，...，n，則對(duì)任一隨機(jī)事件Ｂ，有,,,全概率公式,,,,,,,

53、設(shè)A1，A2，…, An構(gòu)成完備事件組，且諸P（Ai）>0)B為樣本空間的任意事件，P（ B） >0 , 則有,( k =1 , 2 , … , n),證明,,,,,貝葉斯公式 Bayes’ Theorem,事件的獨(dú)立性與獨(dú)立試驗(yàn)概型,解,一、事件的獨(dú)立性引例,,一個(gè)盒子中有６只黑球、４只白球，從中有放回地摸球。求（1） 第一次摸到黑球的條件下，第二次摸到黑球的概率；（2） 第二次摸到黑球的概率。,例,A={第一次摸

54、到黑球}，B={第二次摸到黑球},則,設(shè)Ａ、Ｂ為任意兩個(gè)隨機(jī)事件，如果Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝Ｐ（Ｂ）即事件Ｂ發(fā)生的可能性不受事件Ａ的影響，則稱事件Ｂ對(duì)于事件Ａ獨(dú)立．,顯然，Ｂ對(duì)于Ａ獨(dú)立，則Ａ對(duì)于Ｂ也獨(dú)立，故稱Ａ與Ｂ相互獨(dú)立．,事件的獨(dú)立性 independence,定義,,事件的獨(dú)立性 判別,事件Ａ與事件Ｂ獨(dú)立的充分必要條件是,證明,實(shí)際問(wèn)題中，事件的獨(dú)立性可根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義來(lái)判斷,如甲乙兩人射擊，“甲擊中”與“乙擊中”可以認(rèn)為相互之間

55、沒有影響，即可以認(rèn)為相互獨(dú)立,例如 一個(gè)家庭中有若干個(gè)小孩，假設(shè)生男生女是等可能的，令A(yù)={一個(gè)家庭中有男孩、又有女孩}，B={一個(gè)家庭中最多有一個(gè)女孩}，對(duì)下列兩種情形，討論A與B的獨(dú)立性：（1）家庭中有兩個(gè)小孩；（2）家庭中有三個(gè)小孩。,解 情形（1）的樣本空間為,Ω={（男男），（男女），（女男），（女女）},此種情形下，事件A、B是不獨(dú)立的。,例如 一個(gè)家庭中有若干個(gè)小孩，假設(shè)生男生女是等可能的，令A(yù)=

56、{一個(gè)家庭中有男孩、又有女孩}，B={一個(gè)家庭中最多有一個(gè)女孩}，對(duì)下列兩種情形，討論A與B的獨(dú)立性：（1）家庭中有兩個(gè)小孩；（2）家庭中有三個(gè)小孩。,解 情形（2）的樣本空間為,Ω={（男男男），（男男女），（男女男），（女男男） （男女女），（女男女），（女女男），（女女女）},此種情形下，事件A、B是獨(dú)立的。,直覺未必可信必須深入研究,定理 下列四組事件，有相同的獨(dú)立性：,證明 若A、B獨(dú)立，則,所以，

57、 獨(dú)立。,概念辨析,事件Ａ與事件Ｂ獨(dú)立,事件Ａ與事件Ｂ互不相容,事件Ａ與事件Ｂ為對(duì)立事件,例,甲乙二人向同一目標(biāo)射擊，甲擊中目標(biāo)的概率為0.6，乙擊中目標(biāo)的概率為0.5。試計(jì)算 1）兩人都擊中目標(biāo)的概率；2）恰有一人擊中目標(biāo)的概率；3）目標(biāo)被擊中的概率。,解 設(shè)A表示“甲擊中目標(biāo)”，B表示“乙擊中目標(biāo)”,則,,如果事件A，B，C滿足,P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C)P(BC)

58、=P(B)P(C) P(ABC)=P(A)P(B)P(C),則稱事件A，B，C相互獨(dú)立。,注意,事件A，B，C相互獨(dú)立與事件A，B，C兩兩獨(dú)立不同，兩兩獨(dú)立是指上述式子中前三個(gè)式子成立。因此，相互獨(dú)立一定兩兩獨(dú)立，但反之不一定。,有限多個(gè)事件的獨(dú)立性,例,設(shè)同時(shí)拋擲兩個(gè)均勻的正四面體一次，每一個(gè)四面體標(biāo)有號(hào)碼1，2，3，4。令A(yù)={第一個(gè)四面體的觸地面為偶數(shù)}B={第二個(gè)四面體的觸地面為奇數(shù)}C={兩個(gè)四面體

59、的觸地面同時(shí)為奇數(shù)，或者同時(shí)為偶數(shù)}試討論A、B、C的相互獨(dú)立性。,A={第一個(gè)…為偶數(shù)}；B={第二個(gè)…為奇數(shù)}C={兩個(gè)…同時(shí)為奇數(shù)，或者同時(shí)為偶數(shù)},解 試驗(yàn)的樣本空間為,所以，A、B、C兩兩獨(dú)立，但總起來(lái)講不獨(dú)立。,定義,共有（2n-n-1）個(gè)等式,對(duì)滿足相互獨(dú)立的多個(gè)事件，有,例 加工某一種零件需要經(jīng)過(guò)三道工序，設(shè)三道工序的次品率分別為2%，1%，5% ，假設(shè)各道工序是互不影響的．求加工出來(lái)的零件的次品率．,

60、解,設(shè)Ａ1 ，Ａ2 ，Ａ3 分別表示第一、第二、第三道工序出現(xiàn)次品，則依題意：Ａ1 ,Ａ2 ,Ａ3 相互獨(dú)立，且,Ｐ（Ａ1）＝2 % , Ｐ（Ａ2）＝1% , Ｐ（Ａ3）＝5%,又設(shè)Ａ表示加工出來(lái)的零件是次品, 則 A＝Ａ1∪Ａ2∪Ａ3,方法２ （用對(duì)立事件的概率關(guān)系）,＝1－(1－ 0.02)(1－ 0.01)(1－ 0.05),＝ 0.0783,好！,將試驗(yàn)E重復(fù)進(jìn)行n次,若各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響,則稱

61、這n次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的.,設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E只有兩種可能的結(jié)果:A及 ,且P(A)=p,在相同的條件下將E重復(fù)進(jìn)行n次獨(dú)立試驗(yàn),則稱這一串試驗(yàn)為n重貝努利試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱貝努利試驗(yàn)(Bernoulli trials).,貝努利試驗(yàn),Bernoulli trials,相互獨(dú)立的試驗(yàn),貝努利試驗(yàn),例 一批產(chǎn)品的次品率為 5%，從中每次任取一個(gè)，檢驗(yàn)后放回，再取一個(gè)， 連取 4 次．求 4 次中恰有 2 次取到次品的概率．,設(shè) Ｂ＝｛恰好有 2 次

62、取到次品｝, Ａ＝｛取到次品｝，,則 ＝｛取到正品｝．,分析,n = 4 的 Bernoulli 試驗(yàn),Ａi={第i次抽樣抽到次品},因?yàn)椋?，Ａ2，Ａ3，Ａ4 相互獨(dú)立，所以,四次抽樣中Ａ恰好發(fā)生兩次（有兩次取到次品）的情況有,貝努利定理,設(shè)在一次試驗(yàn)中事件Ａ發(fā)生的概率為 p (0<p<1) ， 則Ａ在n次貝努里試驗(yàn)中恰好發(fā)生 k次的概率為,( k＝ 0，1，2，...，n ),其中,定理,二項(xiàng)概率,例

63、 有一批棉花種子,其出苗率為0.67,現(xiàn)每穴種4粒種子, (1) 求恰有ｋ粒出苗的概率(0≤k≤4)； (2) 求至少有兩粒出苗的概率．,(1) 該試驗(yàn)為4 重貝努利試驗(yàn),解,(2) 設(shè)Ｂ表示至少有2粒出苗的事件,則,,,例 設(shè)某人打靶，命中率為0.7，重復(fù)射擊5次，求恰好命中3次的概率。,解 該試驗(yàn)為5重貝努利試驗(yàn)，且,所求概率為,n=5,p=0.7;q=0.3;k=3,例 設(shè)某

64、電子元件的使用壽命在1000小時(shí)以上的概率為0.2，當(dāng)三個(gè)電子元件相互獨(dú)立使用時(shí)，求在使用了1000小時(shí)的時(shí)候，最多只有一個(gè)損壞的概率。,解 設(shè)A表示“元件使用1000小時(shí)不壞”，則,設(shè)B表示“三個(gè)元件中至多一個(gè)損壞”，則,例 一批種子的發(fā)芽率為80%，試問(wèn)每穴至少播種幾粒種子，才能保證99%以上的穴不空苗。,分析：“穴不空苗”即“至少有一顆種子發(fā)芽”,解 假設(shè)播n顆種子，則依題意可得,可解得,即,所以，每個(gè)穴中宜種3顆種子。

65、,例題選講,練一練,求下列事件,解,練一練,用x, y, z 表示下列事件的概率：,解,將線段AB任意分成三段AC、CD、DB，試求這三段可構(gòu)成三角形的概率。,討論,解 如圖，設(shè)AB長(zhǎng)為1，AC長(zhǎng)為x，CD長(zhǎng)為y，則 DB長(zhǎng)為1-x-y,于是x，y應(yīng)滿足,設(shè)A表示“三段可構(gòu)成三角形”,則A發(fā)生的充分必要條件是,所以，所求概率為0.25,發(fā)報(bào)臺(tái)分別以概率 0.6 和 0.4發(fā)出信號(hào)“ ．”和“ － ”，由于通信系統(tǒng)受到

66、干擾，當(dāng)發(fā)出信號(hào)“ ．”時(shí)，收?qǐng)?bào)臺(tái)分別以概率 0.8 及 0.2 收到信號(hào) “ ．”和“ － ”，同樣，當(dāng)發(fā)報(bào)臺(tái)發(fā)出信號(hào)“ － ”時(shí)，收?qǐng)?bào)臺(tái)分別以概率 0 .9 和0.1 收到信號(hào)“ － ”和“ ．”．求(1) 收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)“ ．”的概率．(2） 當(dāng)收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)“ ．”時(shí)，發(fā)報(bào)臺(tái)確系發(fā)出信號(hào)“ ．”的概率．（P26練習(xí)24）,討論,設(shè)“發(fā)出信號(hào).”為事件A，“接收信號(hào).”為B,則,愛滋病普查：使用一種血液試驗(yàn)來(lái)檢測(cè)人體

67、內(nèi)是 否攜帶愛滋病病毒.設(shè)這種試驗(yàn)的假陰性比例為5% （即在攜帶病毒的人中，有5%的試驗(yàn)結(jié)果為陰 性），假陽(yáng)性比例為1%（即在不攜帶病毒的人中， 有1%的試驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性）.據(jù)統(tǒng)計(jì)人群中攜帶病毒者約占1‰，若某人的血液檢驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性，試問(wèn)該人攜帶愛滋病毒的概率.（P27練習(xí)33）,討論,（貝葉斯公式）,符號(hào)引入：“攜帶病毒”為A，“實(shí)驗(yàn)呈陽(yáng)性”為B，則,求,2， 在一盒子中裝有15個(gè)乒乓球，其中有9個(gè)新球。在第一次比賽時(shí)任

68、意取出三個(gè)球，比賽后仍放回原盒中；在第二次比賽時(shí)同樣任意取出三個(gè)球，求第二次取出的三個(gè)球均為新球的概率。,解 設(shè)第一次取出的球?yàn)椤?新”、“2新1舊”、“1新2舊” “3舊”分別為事件A1、A2、A3、A4；“第二次取 出三個(gè)新球”為事件B，則,某工人照看三臺(tái)機(jī)床，一個(gè)小時(shí)內(nèi)1號(hào)，2號(hào)，3號(hào)機(jī)床需要照看的概率分別為0.3, 0.2, 0.1。設(shè)各機(jī)床之間是否需要照看是相互獨(dú)立的，求在一小時(shí)內(nèi)：1）沒有一臺(tái)機(jī)床