用放縮法證明不等式的方法與技巧1

1、1用放縮法證明方法與技巧 用放縮法證明方法與技巧一．常用公式 一．常用公式1．2． ) 1 (1 1) 1 (12 ? ? ? ? k k k k k 12 112? ?? ?? ? k k k k k3． (4． ( ) 2 2 k k ? ) 4 ? k 1 2 3 2k k ? ? ????? ? 2 ? k5．6．? ??? ?? ? ? ? ！ ！ （ ！ k k k1) 1121 1 b a b a ? ? ?二．放縮技巧

2、二．放縮技巧所謂放縮的技巧：即欲證 所謂放縮的技巧：即欲證 ，欲尋找一個（或多個）中間變量 ，欲尋找一個（或多個）中間變量 ，使 ，使 ， A B ? C A C B ? ?由 到 叫做“放” 叫做“放” ，由 ，由 到 叫做“縮” 叫做“縮”. A C B C常用的放縮技巧 常用的放縮技巧（1）若 ）若 0, , t a t a a t a ? ? ? ? ?（2） ， ， ， 1 n n ? ? 2 1 n n n ? ? ? 1

3、 1 1 n n ? ? ? ? 2 ( 1) n n n n ? ? ?（3） 21 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 ( 1) ( 1) 1 n n n n n n n n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4） 2 2 1 2 2( 1 ) 2( 1)1 1n n n nn n n n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?（5）若 ）若 ，則 ，則 , , a b m R? ? ,

4、a a a a mb b m b b? ? ? ?（6） 2 11 1 1 1 1 1 1 1 2! 3! ! 2 2 2n n ? ? ? ????? ? ? ? ?????（7） （因為 （因為 ） 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 2 3 2 2 3 1 n n n ? ? ????? ? ? ? ? ? ????? ? ? 2 1 1( 1) n n n ? ?（7） 1 1 1 1 1

5、 1 1 1 1 2 3 2 1 1 1 1nn n n n n n n n ? ? ????? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?或 1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 2 2 2 2 2 2nn n n n n n n n ? ? ????? ? ? ????? ? ? ? ? ?（8） 等等。 等等。 1 1 1 1 1 1 12 3n nn n n n n? ? ????? ? ? ????? ? ?三

6、．常見題型 三．常見題型（一） （一） ．先求和再放縮 ．先求和再放縮: 1．設(shè) ．設(shè) ，求證： ，求證： 1 1 1 12 6 12 ( 1)n S n n ? ? ? ? ? ? ? 1 n S ?2．設(shè) ．設(shè) （ ） ，數(shù)列 ，數(shù)列 的前 的前 n 項和為 項和為 ，求證： ，求證： 1n b n ? n N ? ? 2 { } n n b b ? n T 34n T ?3（2）證明： ）證明： . 1 1 1 1 4(1) (2

7、) (3) ( ) 3 f f f f n ? ? ? ? ? ?9．設(shè) ．設(shè) 為數(shù)列 為數(shù)列 的前 的前 項和，對任意的 項和，對任意的 N ，都有 ，都有 為常數(shù)，且 為常數(shù)，且 n S ? ? n a n ? n * ? ? 1 n n S m ma ? ? ? m (． 0) m ?（1）求證：數(shù)列 ）求證：數(shù)列 是等比數(shù)列； 是等比數(shù)列； ? ? n a（2）設(shè)數(shù)列 ）設(shè)數(shù)列 的公比 的公比 ? ? m f q ? ，數(shù)列 ，

8、數(shù)列 滿足 滿足， N ? ? n a ? ? n b ? ? 1 1 1 2 , n n b a b f b ? ? ? ( 2 n ? ? n *，求數(shù)列 ，求數(shù)列 的通項公式； 的通項公式； ) ? ? n b（3）在滿足（ ）在滿足（2）的條件下，求證：數(shù)列 ）的條件下，求證：數(shù)列 的前 的前 項和 項和 ． ? ?2n b n 8918n T ?10．在單調(diào)遞增數(shù)列 在單調(diào)遞增數(shù)列 中， 中， ， ，且 ，且 成等差數(shù)列， 成

9、等差數(shù)列， 成等 成等 { } n a 1 1 a ? 2 2 a ? 2 1 2 2 1 , , n n n a a a ? ? 2 2 1 2 2 , , n n n a a a ? ?比數(shù)列， 比數(shù)列， ． 1, 2 , 3 , n ? ?（1）分別計算 ）分別計算 ， 和 ， 的值； 的值； 3 a 5 a 4 a 6 a（2）求數(shù)列 ）求數(shù)列 的通項公式（將 的通項公式（將 用 表示） 表示） ； { } n a n a n（