一類非線性二階常微分方程無窮多點邊值問題的正解.pdf

1、常微分方程邊值問題是微分方程理論研究的一個基本問題，工程學(xué)，力學(xué)，天文學(xué)，控制論和生物學(xué)等一些領(lǐng)域中的許多問題都可以歸結(jié)為常微分方程的邊值問題.常微分多點邊值問題能夠精確的描述許多十分重要的物理現(xiàn)象，有著相當(dāng)廣泛的實際運用背景，由于多點邊值問題有它自身固有的難度，因此對多點邊值問題的研究起步相對較晚.2009年，文獻(xiàn)[30]中運用錐拉伸與壓縮不動點定理研究了非線性二階常微分方程無窮多點邊值問題正解的存在性.之后，關(guān)于常微分方程無窮點邊值

2、問題，又有一些相關(guān)的工作，如文獻(xiàn)[41，47].
　　本文利用錐拉伸與壓縮不動點定理，證明了一類非線性二階常微分方程u"+a(t)u'+b(t)u+h(t)f(u)=0，t∈(0，1)分別在以下三種邊值條件下(1)u'(0)=0，u(1)=Σ∞i=1αiu（ξi）(2)u(0)=0，u(1)=∑∞i=1αiu（ξi）(3)u(0)=∑∞i=1αiu（ξi），u(1)=∑∞i=1βiu（ξi）正解的存在性.
　　根據(jù)研究內(nèi)容本

3、文主要分為以下三個部分:
　　第一部分證明無窮點邊值問題{u"+a(t)u'+b(t）u+h(t）f(u）=0，t∈(0，1)u'(0)=0,u(1)=∑∞i=1αiu(ξi)(1)正解的存在性.首先運用錐拉伸與壓縮不動點定理證明n+2點邊值問題{u"+a(t)u'+b(t)u+h(t）f(u）=0，t∈(0，1)u'(0)=0，u(1)=∑ni=1αiu（ξi）(2)正解的存在性，首先考慮問題(2)，第一步，將問題(2)轉(zhuǎn)化為與

4、之對應(yīng)的積分方程.第二步，利用錐上的不動點定理證明在問題(2)的非線性項滿足超線性情形時至少存在一個正解，再當(dāng)n→∞時，得到問題(2)的極限情形(1)，即也就得到了我們想要的結(jié)果.第三步，證明非線性項滿足次線性情形時正解的存在性.
　　第二部分證明二階常微分方程u"+a(t)u'+b(t)u+h(t)f(u)=0，t∈(0，1)在邊值條件u(0)=0，u(1)=∑∞i=1αiu（ξi)下正解的存在性，證明方法與第一部分類似，困難在

5、于在證明過程中把問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的積分方程，最大的難度是當(dāng)n→∞時，正解存在性的證明.
　　第三部分證明無窮點邊值問題
　　{u"+a(t)u'+b(t)u+h(t)f(u)=0,t∈(0,1)u(0)=∑∞i=1αiu（ξi），u(1)=∑∞i=1βiu（ξi）正解的存在性.首先證明有限點邊值問題{u"+a(t)u'+b(t)u+h(t)f（u）=0，t∈(0，1)u(0)=∑ni=1αiu（ξi），u(1)=∑ni=1βi