幾類非線性四階常微分方程邊值問(wèn)題的正解.pdf

1、非線性泛函分析為當(dāng)今數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，其研究具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值，其中主要包括拓?fù)涠壤碚?、變分方法、臨界點(diǎn)理論、錐理論等諸多內(nèi)容、處理這些非線性的問(wèn)題主要是處理這些非線性的積分方程和微分方程.對(duì)非線性泛函分析的研究，在國(guó)內(nèi)外也取得了豐富的成果.1912年L.E.J.Brouwer建立了有限維空間的拓?fù)涠龋˙roawer度），1934年J.Leray將這一成果推廣到Banach空間的全連續(xù)場(chǎng)，建立了Leray-schauder度.E.Ro

2、the，M.A.Krasnoselskii,P.H.Rabinowitz，H.Amann，K.Deimling等對(duì)非線性泛函分析及其應(yīng)用也進(jìn)行了深入的研究，國(guó)內(nèi)張恭慶教授、郭大鈞教授、孫經(jīng)先教授等在非線性泛函分析的研究中，取得了很多深刻的結(jié)果.他們的研究成果可以應(yīng)用于控制理論、最優(yōu)化理論、計(jì)算數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)等等許多領(lǐng)域.
　　四階非線性微分方程組邊值問(wèn)題是微分方程問(wèn)題非常重要的組成部分.對(duì)它的研究有著非常重要的應(yīng)用價(jià)值和實(shí)際意義，

3、為許多學(xué)者關(guān)注，也取得了豐碩的研究成果.大多數(shù)的這些結(jié)果是通過(guò)將四階邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成二階邊值問(wèn)題，然后利用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論、拓?fù)涠壤碚?、錐理論、上下解等方法得出問(wèn)題的正解.
　　近年來(lái)，對(duì)四階非線性微分方程組邊值問(wèn)題尤其是正解的存在性的研究逐漸增多,但最常用的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)定理有著一定的限制條件，它的適用范圍有著局限性(、)因此，存在著許多亟待解決的問(wèn)題.本文是在借鑒前人成果的基礎(chǔ)上，將一些條件進(jìn)行改進(jìn)和完善，從而推廣了這些結(jié)果.

4、　　利用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論，本文深入研究了幾類四階非線性微分方程組邊值問(wèn)題的正解的存在性，共分為四章:
　　在第一章中，我們研究一個(gè)四階積分方程邊值問(wèn)題正解的存在性，{ u(4)（t）=f(t，u(t))，u(0)=∫10u(t)dα1(t)、u(1)=∫10u(t)dβ1(t)，u"(0)=∫10u"(t）dα2(t），u"(1)=∫10u"(t)dβ2(t),其中f∈C（[0,1]×R+，R+），αi≥0，βi≥0，αi和βi是[

5、0,1]上的嚴(yán)格遞增函數(shù).本文的亮點(diǎn)在于，方程(1.1.1)的Green函數(shù)用傳統(tǒng)的求法比較困難.我們通過(guò)使用方程(1.1.2)中的Green函數(shù)，轉(zhuǎn)化建立(1.1.1)的Green函數(shù).然后我們使用先驗(yàn)估計(jì)得到相關(guān)的積分恒等式和不等式，接著使用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)定理去證明方程(1.1.1)正解的存在性.
　　在第二章中，我們研究一個(gè)四階微分方程組邊值問(wèn)題正解和多重正解的存在性{ x(4)=f(t，x，x'，-x"，-x'''，y，y'，

6、-y"，-y''')，y(4)=g（t，x，x'，-x"，-x'''，y，y'，-y"，-y'''），x(0)=x'(1)=x"(0)=x'''(1)=0,y(0)=y'(1)=y"(0)=y'''(1)=0，其中f，g∈C（[0，1]×R8+，R+）（R+:=[0，∞））.本文的亮點(diǎn)在于，在獲得先驗(yàn)估計(jì)中凹函數(shù)的運(yùn)用，同時(shí)在獲得先驗(yàn)估計(jì)中非負(fù)矩陣的運(yùn)用，以及降階的方法.運(yùn)用文獻(xiàn)[31]中的方法，使用建立的積分恒等式和不等式，來(lái)得出方程

7、(1.2.1)中正解和多重正解的存在性.
　　在第三章中，我們用不同的方法研究一個(gè)四階邊值問(wèn)題正解和多重正解的存在性{ w(4)=f（t，w，w'，-w"，-w'''，z，z'，-z"，-z'''），z(4)=g(t,w，w',-w"，-w'''，z，z'，-z"，-z'''),w(0)=w'(1)=w"(0)=w'''(1)=0，z(0)=z'(1)=z"(0)=z'''(1)=0,其中f，g∈C（[0，1]×R8+，R+）(R

8、+:=[0,∞））.本章的主要困難在于，在處理方程組(1.3.1)中，存在奇數(shù)階導(dǎo)數(shù)，尤其是非線性項(xiàng)f，g.為了克服這個(gè)困難，我們采用降階的方法，把(1.3.1)轉(zhuǎn)化成一階積分微分方程組初值問(wèn)題.然后通過(guò)文獻(xiàn)[49]中的方法，建立一些相關(guān)參數(shù)的線性積分算子，結(jié)合先驗(yàn)估計(jì)，使用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論，來(lái)證明方程組(1.3.1)中正解和多重正解的存在性.
　　在第四章中，我們研究與第三章相同的方程但是邊界條件不同的方程組邊值問(wèn)題正解和多重正解

9、的存在性{ w(4)=f(t，w，w',-w"，-w'''，z，-z',-z"，z'''),z(4)=g（t，w，w'，-w"，-w'''，z，-z',-z",z'''），w(0)=w'(1)=w"(0)=w'''(1)=0，z(1)=z'(0)=z"(1)=z'''(0)=0,其中f，g∈C（[0，1]×R8+，R+）（R+:=[0，∞））.與第三章相比，本章含有不同的邊值條件和一階導(dǎo)數(shù)的非線性項(xiàng).我們首先采用與第三章相同的降階方法，