幾類風(fēng)險(xiǎn)模型的分紅問題.pdf

1、近年來,分紅問題在精算數(shù)學(xué)中受到了廣泛的關(guān)注.本文考慮了幾類風(fēng)險(xiǎn)模型的分紅問題.文中討論的風(fēng)險(xiǎn)模型有一維擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型,經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型和帶擾動(dòng)的經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型;主要涉及的分紅策略有障礙分紅策略,閾值分紅策略和混合分紅策略;研究的主要問題有對應(yīng)風(fēng)險(xiǎn)模型的逸出時(shí),破產(chǎn)前期望折現(xiàn)分紅,破產(chǎn)前折現(xiàn)分紅的矩母函數(shù)和各階矩,Gerber-Shiu函數(shù)和破產(chǎn)時(shí)的拉普拉斯變換等;用到的工具主要包括逸出時(shí),特殊函數(shù),馬氏過程,泰勒公式和Dynkin公式等.文中

2、的有些問題得到了具體的結(jié)果.根據(jù)文章的具體內(nèi)容本文可分為以下三章:
　　1)一維擴(kuò)散過程的逸出時(shí)和分紅值函數(shù).
　　在這一章考慮一維時(shí)齊的擴(kuò)散過程在區(qū)間上的逸出時(shí)問題,以及它們在風(fēng)險(xiǎn)理論中分紅問題的應(yīng)用.首先,利用Dynkin公式推導(dǎo)出了逸出時(shí)的拉普拉斯變換滿足的常微分方程.然后,列舉了幾個(gè)在精算學(xué)和金融市場模型中經(jīng)常用到的擴(kuò)散過程,得到了它們的逸出時(shí)的拉普拉斯變換的明確表達(dá)式.最后,將逸出時(shí)的拉普拉斯變換與分紅值函數(shù)聯(lián)系起

3、來,利用逸出時(shí)的拉普拉斯變換分別表示出了障礙分紅值函數(shù)和閾值分紅值函數(shù).
　　2)混合分紅策略下的古典風(fēng)險(xiǎn)模型.
　　第二章研究了在混合分紅策略下的古典風(fēng)險(xiǎn)模型.先詳細(xì)地介紹了古典風(fēng)險(xiǎn)模型、混合分紅策略以及分紅策略問題的研究背景.然后定義了在混合分紅策略下的古典風(fēng)險(xiǎn)模型中的破產(chǎn)前折現(xiàn)分紅函數(shù),破產(chǎn)前期望折現(xiàn)分紅函數(shù),折現(xiàn)分紅函數(shù)的矩母函數(shù)和各階矩, Gerber-Shiu函數(shù)和破產(chǎn)時(shí)的拉普拉斯變換.進(jìn)一步推導(dǎo)出了破產(chǎn)前的期望

4、折現(xiàn)分紅函數(shù)滿足的積分微分方程和邊界條件.也得到了破產(chǎn)前折現(xiàn)分紅函數(shù)的矩母函數(shù)及各階矩分別滿足的積分微分方程和邊界條件.最后討論了Gerber-Shiu函數(shù)和破產(chǎn)時(shí)的拉普拉斯變換.其中關(guān)于個(gè)體索賠額服從指數(shù)的情況,得到了一些具體的結(jié)果.
　　3)混合分紅策略下的帶擾動(dòng)的古典風(fēng)險(xiǎn)模型.
　　在第二章的基礎(chǔ)上,本章考慮了在混合分紅策略下的帶擾動(dòng)的古典風(fēng)險(xiǎn)模型.為方便,沿用了第二章的部分記號,由于模型的變化破產(chǎn)時(shí)的定義不同,首先介

5、紹了帶擾動(dòng)的古典風(fēng)險(xiǎn)模型,指出了由于模型的變化導(dǎo)致的與第二章的記號的變化.利用Dynkin公式推導(dǎo)出了破產(chǎn)前期望折現(xiàn)分紅函數(shù)滿足的積分微分方程和邊界條件.在例子中得到了當(dāng)索賠服從指數(shù)分布時(shí)破產(chǎn)前預(yù)期折現(xiàn)分紅的具體表達(dá)式.然后分別推導(dǎo)出了破產(chǎn)前折現(xiàn)分紅的矩母函數(shù)和k階矩滿足的積分微分方程和邊界條件.最后,討論了著名的Gerber-Shiu函數(shù),具體計(jì)算了當(dāng)個(gè)體索賠額為指數(shù)分布時(shí)破產(chǎn)時(shí)的拉普拉斯變換.另外,本章的一些邊界條件的證明利用了第二