最優(yōu)控制問(wèn)題三角形混合有限元方法的超收斂.pdf

1、有效的數(shù)值方法是把最優(yōu)控制問(wèn)題廣泛應(yīng)用到各個(gè)實(shí)踐領(lǐng)域的關(guān)鍵，在這些數(shù)值方法中，雖然也有其他的方法被利用，但是有限元方法是應(yīng)用最為普遍的一種，其理論分析和算法實(shí)現(xiàn)已日趨完善．目前，關(guān)于最優(yōu)控制問(wèn)題混合有限元逼近的理論分析方面的文章并沒(méi)有太多．
　　 本文中，由于最優(yōu)控制問(wèn)題的目標(biāo)泛函中含有狀態(tài)變量的梯度，為了提高其梯度的精度，我們利用三角形混合有限元方法進(jìn)行離散，即分別對(duì)狀態(tài)變量(標(biāo)量及向量)和控制變量采取不同的有限元空間進(jìn)行逼近

2、：對(duì)狀態(tài)變量及其梯度，我們采用的Raviart-Thomas一次混合有限元空間來(lái)逼近；對(duì)控制變量采用分片常數(shù)空間來(lái)逼近．首先，利用變分原理得到最優(yōu)控制問(wèn)題的最優(yōu)性條件，即將一個(gè)求泛函極小的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為狀態(tài)方程，伴隨狀態(tài)方程和一個(gè)變分不等式三者的聯(lián)立系統(tǒng)．然后我們定義了控制變量的插值uI，通過(guò)利用最優(yōu)性條件中的變分不等式，將對(duì)控制變量的估計(jì)轉(zhuǎn)化為對(duì)對(duì)偶狀態(tài)量的估計(jì)．對(duì)控制集中的函數(shù)，我們引入了一些與其相關(guān)并可作為中間變量的狀態(tài)函數(shù)和伴隨狀態(tài)

3、函數(shù)，將有限元誤差分成幾個(gè)部分來(lái)進(jìn)行估計(jì)，證明了插值uI與離散解uh之間的估計(jì)具有h2的超收斂性質(zhì)．在后處理過(guò)程中，針對(duì)控制變量的低正則性，我們引入特殊的后處理算子，由于后處理算子的引入與控制集有關(guān)，不同的控制集所要引入的后處理算子是不同的．文中的控制集是Uad={u∈L2(Ω):∫Ωu(x)dx≥0}，因此，我們所引入相應(yīng)的后處理算子為u★=g(h)=(max(0,ˉzh)-zh)/v．然后用同樣的方法得到后處理算子與精確解的估計(jì)也具