偏微分方程最優(yōu)控制問題有限元方法的超收斂分析和后驗(yàn)誤差估計(jì).pdf

1、偏微分方程最優(yōu)控制問題的研究是數(shù)學(xué)科學(xué)中非常鮮活且有生命力的領(lǐng)域，過去三十年來得到了很好的發(fā)展.作為數(shù)學(xué)尤其是應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它涵蓋了許多領(lǐng)域比如材料設(shè)計(jì)，晶體增長，化學(xué)反應(yīng)等過程中所用到的例如時(shí)間控制，回饋控制，流體方程控制，最優(yōu)形狀設(shè)計(jì)等重要的多種類型的控制問題。其中涉及到的方程類型既有線性的和橢圓的，又有非線性的和時(shí)變的。特別復(fù)雜和重要的是，隨著科學(xué)和工程的發(fā)展，我們碰到是具有更重要應(yīng)用和實(shí)際需要的許多線性或者非線性耦合方程組

2、的最優(yōu)控制問題。同時(shí)，由于實(shí)際應(yīng)用中問題的復(fù)雜性，以及能用更有成效的數(shù)學(xué)理論來分析這些問題，可見形成更合理更適定的數(shù)學(xué)模型無疑是非常大的一個(gè)挑戰(zhàn).另一方面，隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展和計(jì)算能力的提高，在有了問題的數(shù)學(xué)模型的描述之后，擺在我們面前的第二個(gè)任務(wù)就是如何采取更有效的數(shù)值方法去滿足此類問題的計(jì)算要求，使得問題的物理過程得到直觀的模擬，從而為實(shí)際的生產(chǎn)帶來更大的幫助或者技術(shù)的提高.從而，為了檢驗(yàn)問題模型正確與否和為進(jìn)一步的研究提供基礎(chǔ)我們需

3、要在數(shù)值方法和相關(guān)數(shù)學(xué)逼近理論分析方面有更快的發(fā)展才能保持平衡。眾所周知，在當(dāng)前大的科學(xué)與工程計(jì)算過程中，有限元方法因其自身的優(yōu)越性使得在眾多數(shù)值方法中占有了不可替代的位置。本研究主要內(nèi)容如下： 第一章第一部分中給出了一類雙線性橢圓方程控制問題的超收斂分析.在作為參數(shù)估計(jì)中經(jīng)常面臨的這類雙線性類型的控制問題，我們在分析超收斂之前先給出了先驗(yàn)誤差估計(jì)，用來同后面的結(jié)論作為比較。離散過程中，狀態(tài)和伴隨狀態(tài)用分片線性元去逼近，控制變量

4、采用分片常數(shù)去逼近。第二部分中給出了此類問題的自適應(yīng)有限元離散格式以及在多套網(wǎng)格下的計(jì)算方法.對狀態(tài)和控制變量分別給出了其等價(jià)的后驗(yàn)誤差估計(jì)。每部分的最后一節(jié)都給出了數(shù)值算例去驗(yàn)證誤差分析的結(jié)果。第二章對此類穩(wěn)態(tài)的Benard問題的最優(yōu)控制作了研究，在本章中給出了此類問題有限元逼近的超收斂分析.因耦合的非線性問題后驗(yàn)誤差估計(jì)的復(fù)雜性使得對此類控制問題自適應(yīng)方法的研究產(chǎn)生了很大負(fù)面影響，目前為止對于控制受限的Benard問題的后驗(yàn)估計(jì)還未

5、見有相應(yīng)的分析，但是它又具有非常重要的應(yīng)用價(jià)值，故此原因成為我們研究的動(dòng)力源泉。本章的第二部分采用對偶技巧給出了此類問題的后驗(yàn)誤差估計(jì)，采用其結(jié)果可以進(jìn)行自適應(yīng)計(jì)算.像很多控制問題一樣，我們還給出了其接觸集的誤差估計(jì)，使得我們的估計(jì)子更加精確。石油工程領(lǐng)域研究的目的就是如何能開采出更多的油，即使世界范圍內(nèi)石油產(chǎn)量增加千分之一僅帶來數(shù)百萬美元的經(jīng)濟(jì)利益，他們也會(huì)千方百計(jì)地去開采，可見石油作為一種能源有著不可替代的作用?，F(xiàn)今，從歷史來看石油

6、的開采已進(jìn)入二次或者三次開采階段，其中在二次采油過程中主要的手段就是注水采油，即通過注水井和采油井完成。采油井用于把油藏中的油輸送到地表，注水井用來注入大量的水來維持油藏中的壓力差已達(dá)到驅(qū)油的目的。油藏中油水混合物朝采油井方向運(yùn)移直至發(fā)生水竄為止，在此過程中隨著石油被開采出來，則需要不斷地注入更多的水，直到采收率非常低的情況下，開采過程結(jié)束。由于地質(zhì)結(jié)構(gòu)的非均質(zhì)性，開采過程中油水的運(yùn)移不是一致的，甚至非常不規(guī)則，導(dǎo)致的后果就是提前發(fā)生水