幾類(lèi)最優(yōu)控制問(wèn)題的混合元方法改超收斂研究.pdf

1、關(guān)于偏微分方程的最優(yōu)控制問(wèn)題已有大量的工作．目前，已經(jīng)有很多數(shù)值方法可以用來(lái)解決最優(yōu)控制問(wèn)題．在現(xiàn)有的文獻(xiàn)中，大多是采用標(biāo)準(zhǔn)有限元來(lái)研究最優(yōu)控制問(wèn)題，而關(guān)于混合有限元方法的理論分析非常少見(jiàn)．但對(duì)于某些問(wèn)題，混合有限元方法有著不可替代的優(yōu)勢(shì)．例如在求解流體控制問(wèn)題時(shí)，利用混合有限元求解，可以同時(shí)對(duì)壓力和速度得到相同精度的逼近解，提高了離散解的精度．
　　 因此，研究最優(yōu)控制問(wèn)題的混合有限元方法具有重大的理論意義和應(yīng)用價(jià)值．本文中，

2、我們將研究幾類(lèi)最優(yōu)控制問(wèn)題混合有限元方法的誤差估計(jì)及超收斂性質(zhì)．
　　 本文可分為兩部分．在第一部分，我們研究了橢圓型最優(yōu)控制問(wèn)題．我們采用的基本方法是利用變分原理得到問(wèn)題的最優(yōu)性條件，即將一個(gè)求泛函極小的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為狀態(tài)方程，伴隨狀態(tài)方程和一個(gè)變分不等式三者的聯(lián)立系統(tǒng)．對(duì)于求得的最優(yōu)性條件，我們采用混合有限元方法進(jìn)行離散，即分別對(duì)狀態(tài)變量(標(biāo)量及向量)和控制變量采用不同的有限元空間進(jìn)行逼近．對(duì)狀態(tài)變量及其梯度，我們采用Ravia

3、rt-Thomas混合有限元空間來(lái)逼近，對(duì)控制變量采用分片多項(xiàng)式空間來(lái)逼近．首先，對(duì)障礙型約束集的最優(yōu)控制問(wèn)題，在目標(biāo)泛函為二次泛函和一般凸泛函的情況下，我們分別研究了其混合有限元方法的最大模誤差估計(jì)．值得一提的是，在這一部分的理論分析中，針對(duì)控制變量的低正則性，我們引入了特殊的投影算子，利用得到的最優(yōu)性條件，找到控制變量和對(duì)偶狀態(tài)變量之間的關(guān)系，將對(duì)控制變量的估計(jì)轉(zhuǎn)化為對(duì)對(duì)偶狀態(tài)變量的估計(jì)．我們證明了對(duì)狀態(tài)變量，對(duì)偶狀態(tài)變量及控制變量

4、，它們的精確解與其逼近解之間的誤差在最大模意義下均是收斂的．接著，基于J．Douglas關(guān)于橢圓混合有限元方法的誤差估計(jì)，我們僅僅針對(duì)目標(biāo)泛函為二次泛函的情形，對(duì)一類(lèi)具有特殊約束集一積分型約束集的最優(yōu)控制問(wèn)題進(jìn)行了先驗(yàn)誤差估計(jì)．我們得到了真解與其逼近解在L2范數(shù)下的豐滿階收斂性，最后，我們給出一些數(shù)值算例來(lái)驗(yàn)證得到的理論結(jié)果．
　　 在第二部分，我們研究了拋物型最優(yōu)控制問(wèn)題．對(duì)于拋物方程混合元方法的先驗(yàn)誤差，V．Thomec等人

5、已進(jìn)行了一定的研究，但其并未涉及最優(yōu)控制問(wèn)題．
　　 因此，我們首先研究了這一問(wèn)題混合有限元方法的誤差估計(jì)．接著，我們分析了矩形剖分下拋物型最優(yōu)控制問(wèn)題的超收斂性質(zhì)．這一部分的難點(diǎn)在于如何利用目標(biāo)泛函的凸性和連續(xù)可微性來(lái)處理誤差變分不等式，并且對(duì)于任意控制集中的函數(shù)，我們需要引入一些與此相關(guān)的可作為中間變量的狀態(tài)函數(shù)和伴隨狀態(tài)函數(shù)，將誤差分為幾部分來(lái)考慮．最后，我們證明了狀態(tài)變量，對(duì)偶狀態(tài)變量和控制變量的投影與其有限元逼近解之間