分?jǐn)?shù)階偏微分方程的理論和數(shù)值研究.pdf

1、近年來，分?jǐn)?shù)階偏微分方程(FPDEs)在數(shù)學(xué)模型中的應(yīng)用受到越來越廣泛的關(guān)注。不同的FPDEs模型已被應(yīng)用到越來越多的領(lǐng)域中，包括：材料，力學(xué)，以及生物系統(tǒng)等，并且發(fā)現(xiàn)FPDEs在研究一些具有記憶過程、遺傳性質(zhì)以及異質(zhì)材料時(shí)比整數(shù)階方程模型更有優(yōu)勢。FPDEs在數(shù)學(xué)建模上取得的進(jìn)展，激發(fā)了人們研究數(shù)值算法的興趣。 本文從理論和數(shù)值計(jì)算兩方面對分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程(FDEs)及其相關(guān)問題進(jìn)行深入研究，主要內(nèi)容包括以下三個(gè)方面：

2、我們引進(jìn)了一類新的利用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義的分?jǐn)?shù)階空間，并證明了此類空間與傳統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Sobolev空間在范數(shù)意義下是等價(jià)的。利用這些結(jié)果我們導(dǎo)出了FDEs初邊值問題的弱形式，并借助橢圓型問題的經(jīng)典理論證明了弱解的存在唯一性。上述研究結(jié)果表明在Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義的情況下，分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程與弱形式的等價(jià)性證明不需要添加初值條件。相反地，在Caputo導(dǎo)數(shù)定義的情況下，該等價(jià)性則需要加初值條件來保證。 基于上述

3、弱解理論，我們計(jì)算時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程(TFDE)的數(shù)值解。TFDE與傳統(tǒng)的擴(kuò)散方程有本質(zhì)的不同。對于前者，時(shí)間上的一階導(dǎo)數(shù)被分?jǐn)?shù)階導(dǎo)術(shù)所代替，使得問題在時(shí)間上是全局的。我們提出將譜方法應(yīng)用于TFDE時(shí)間和空間上的離散，給出最優(yōu)誤差估計(jì)證明該方法的收斂性，并用數(shù)值結(jié)果驗(yàn)證理論估計(jì)。歸功于該方法在時(shí)間和空間方向上所具有的譜精度，我們能夠有效地減少由全局時(shí)間依賴性所引起的對存儲(chǔ)量的要求，從而可以計(jì)算長時(shí)間的解。 我們考察用以描述神經(jīng)細(xì)