變系數(shù)分?jǐn)?shù)階偏微分方程的差分格式.pdf

1、近來(lái)，越來(lái)越多的研究發(fā)現(xiàn)一些重要的動(dòng)力學(xué)過(guò)程的方程的分?jǐn)?shù)階和擴(kuò)散系數(shù)會(huì)隨著時(shí)間或者空間變化，例如多孔介質(zhì)中的熱傳導(dǎo)或液體流動(dòng)過(guò)程、地震波的傳播等問(wèn)題。本文主要研究了變系數(shù)分?jǐn)?shù)階和變分?jǐn)?shù)階偏微分方程的有限差分解法。
　　本研究分為三個(gè)部分：第一部分，研究了帶有可變擴(kuò)散系數(shù)的時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程，由于變系數(shù)a(x)的引入，使得常用的整數(shù)點(diǎn)中心差分和緊致有限差分格式不能用在本問(wèn)題的空間偏導(dǎo)的離散，本文我們引入半整數(shù)點(diǎn)，即空間網(wǎng)格剖分的對(duì)偶

2、剖分，再對(duì)空間偏導(dǎo)直接差分，得到關(guān)于空間的精度為二階的差分逼近。時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)采用Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，從而得到了方程的精度為O((Τ)2-α+h2)的有限差分格式，格式的解是存在唯一的，并應(yīng)用最大模方法證明了格式的穩(wěn)定性和收斂性。并給出了二維分?jǐn)?shù)階變擴(kuò)散系數(shù)擴(kuò)散方程的交替方向差分格式。第二部分，研究了帶有可變擴(kuò)散系數(shù)的時(shí)間變分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程，關(guān)于空間偏導(dǎo)的逼近與第一部分相同，變分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的逼近我們采用Coimbra變分?jǐn)?shù)階算子，得到了

3、方程的一個(gè)精度為O((Τ)+ h2)的有限差分格式，我們證明了格式的解是存在且唯一的，并采用最大模方法證明了格式的穩(wěn)定性和收斂性。并給出了二維變分?jǐn)?shù)階變系數(shù)擴(kuò)散方程的差分格式。第三部分，考慮了一個(gè)帶有可變系數(shù)變分?jǐn)?shù)階的對(duì)流擴(kuò)散方程的數(shù)值算法，時(shí)間變分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)采用Coimbra變分?jǐn)?shù)階算子，對(duì)對(duì)流項(xiàng)采用迎風(fēng)差分格式，對(duì)擴(kuò)散項(xiàng)采用第一部分提出的方法，得到了方程的一個(gè)精度為O((Τ)+h)的有限差分格式，同樣，我們分析了格式解的存在唯一性，并